ചോദ്യം (സാധാരണ പലിശയും തുകയും)

ചോദ്യം 71: ഒരാൾ 3000 രൂപ 12% പലിശ നിരക്കിൽ ഒരു ബാങ്കിൽ നിക്ഷേപിക്കുന്നു. എങ്കിൽ 2 വർഷം കഴിഞ്ഞ് അയാൾക്ക് കിട്ടുന്ന തുക എത്ര ?
(A) 3,360
(B) 720
(C) 3,800
(D) 3,720
ശരിയായ ഉത്തരം: (D) 3,720

ഈ ചോദ്യത്തിൽ കണ്ടെത്തേണ്ടത് 2 വർഷം കഴിഞ്ഞു ലഭിക്കുന്ന ആകെ തുകയാണ്. അതായത്, നിക്ഷേപിച്ച മുതലും അതിന് ലഭിച്ച പലിശയും ചേർന്ന തുക. ചോദ്യത്തിൽ ഏത് തരം പലിശയാണെന്ന് പറയാത്തതുകൊണ്ട്, ഇതിനെ സാധാരണ പലിശ (Simple Interest) ആയി പരിഗണിക്കണം.

1. ആദ്യം പലിശ കണ്ടെത്തുക:
   • സൂത്രവാക്യം: സാധാരണ പലിശ (SI) = (P × R × T) / 100
   • ഇവിടെ, P (മുതൽ) = 3000, R (നിരക്ക്) = 12%, T (കാലയളവ്) = 2.
   • പലിശ = (3000 × 12 × 2) / 100 = 720 രൂപ.
3. അതിനുശേഷം ആകെ തുക കണ്ടെത്തുക:
   • ആകെ തുക = മുതൽ + പലിശ
   • ആകെ തുക = 3000 + 720 = 3720 രൂപ.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):

• ഒരു വർഷത്തെ പലിശ 12% ആണെങ്കിൽ, രണ്ടു വർഷത്തെ സാധാരണ പലിശ 12% + 12% = 24% ആയിരിക്കും.
• 3000-ന്റെ 24% കണ്ടുപിടിക്കുക: (3000 × 24) / 100 = 720 രൂപ (ഇത് പലിശ).
• ആകെ തുക = 3000 + 720 = 3720 രൂപ.
• ശ്രദ്ധിക്കുക: ചോദ്യത്തിൽ “തുക” എത്രയെന്നാണ് ചോദിച്ചത്. ഓപ്ഷൻ B-യിൽ പലിശയായ 720 നൽകിയിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, ചോദ്യം ശ്രദ്ധിച്ചു വായിച്ചില്ലെങ്കിൽ തെറ്റുപറ്റാൻ സാധ്യതയുണ്ട്.

---

കൂട്ടുപലിശയും സാധാരണ പലിശയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

ചോദ്യം: ഒരാൾ 8000 രൂപ 10% പലിശ നിരക്കിൽ 2 വർഷത്തേക്ക് നിക്ഷേപിക്കുന്നു. എങ്കിൽ അയാൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന കൂട്ടുപലിശയും (Compound Interest) സാധാരണ പലിശയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എത്ര?
(A) 80 രൂപ
(B) 160 രൂപ
(C) 1680 രൂപ
(D) 800 രൂപ
ശരിയായ ഉത്തരം: (A) 80 രൂപ

വിശദീകരണം (സാധാരണ രീതി):

1. സാധാരണ പലിശ (SI):
   • SI = (8000 × 10 × 2) / 100 = 1600 രൂപ.
3. കൂട്ടുപലിശ (CI):
   • ഒന്നാം വർഷത്തെ പലിശ = 8000-ന്റെ 10% = 800 രൂപ.
   • രണ്ടാം വർഷത്തെ മുതൽ = 8000 + 800 = 8800 രൂപ.
   • രണ്ടാം വർഷത്തെ പലിശ = 8800-ന്റെ 10% = 880 രൂപ.
   • ആകെ കൂട്ടുപലിശ = 800 + 880 = 1680 രൂപ.
5. വ്യത്യാസം:
   • വ്യത്യാസം = കൂട്ടുപലിശ – സാധാരണ പലിശ = 1680 – 1600 = 80 രൂപ.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick for 2 years):
രണ്ട് വർഷത്തെ കൂട്ടുപലിശയും സാധാരണ പലിശയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താൻ താഴെ പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം:

• വ്യത്യാസം = P (R/100)²
• ഇവിടെ, P = 8000, R = 10.
• വ്യത്യാസം = 8000 × (10/100)² = 8000 × (1/10)² = 8000 × (1/100) = 80 രൂപ.
  ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ ഉത്തരം കണ്ടെത്താം.

---

തുക ഇരട്ടിയാകാൻ എടുക്കുന്ന സമയം

ചോദ്യം: ഒരു നിശ്ചിത തുക സാധാരണ പലിശ പ്രകാരം 8% വാർഷിക നിരക്കിൽ നിക്ഷേപിച്ചാൽ, അത് ഇരട്ടിയാകാൻ എത്ര വർഷം എടുക്കും?
(A) 8 വർഷം
(B) 10 വർഷം
(C) 12.5 വർഷം
(D) 25 വർഷം
ശരിയായ ഉത്തരം: (C) 12.5 വർഷം

വിശദീകരണം (സാധാരണ രീതി):

• മുതൽ (P) = x എന്ന് കരുതുക.
• തുക ഇരട്ടിയാകുമ്പോൾ, ആകെ തുക (A) = 2x ആകും.
• അപ്പോൾ ലഭിക്കേണ്ട പലിശ (SI) = ആകെ തുക – മുതൽ = 2x – x = x.
• നമ്മുടെ സൂത്രവാക്യം: SI = (P × R × T) / 100
• x = (x × 8 × T) / 100
• രണ്ടു വശത്തുമുള്ള ‘x’ ഒഴിവാക്കാം: 1 = (8 × T) / 100
• T = 100 / 8 = 12.5 വർഷം.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):

• ഒരു തുക സാധാരണ പലിശയിൽ ഇരട്ടിയാകാൻ (double) എടുക്കുന്ന സമയം കണ്ടെത്താൻ, T = 100 / R എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക.
• ഒരു തുക മൂന്നിരട്ടിയാകാൻ (triple) എടുക്കുന്ന സമയം കണ്ടെത്താൻ, T = 200 / R എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക.
• ഒരു തുക നാലിരട്ടിയാകാൻ (quadruple) എടുക്കുന്ന സമയം കണ്ടെത്താൻ, T = 300 / R എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക.

ഈ ചോദ്യത്തിൽ തുക ഇരട്ടിയാകാനാണ് ചോദിച്ചത്. അതിനാൽ,

• T = 100 / R = 100 / 8 = 12.5 വർഷം.

ചോദ്യം 72: വിശദീകരണം

ചോദ്യം: രണ്ട് അർദ്ധഗോളങ്ങളുടെ ആരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം 1 : 2 ആണെങ്കിൽ അവയുടെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം എത്ര ?
(A) 2:4
(B) 1:4
(C) 2:6
(D) 1:8
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) 1:4

വിശദീകരണം:

1. അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം: ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ പൂർണ്ണ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം (Total Surface Area) കണ്ടെത്താനുള്ള സൂത്രവാക്യം 3πr² ആണ് (ഇവിടെ ‘r’ ആരം ആണ്). വക്രതല വിസ്തീർണ്ണം (Curved Surface Area) മാത്രമാണെങ്കിൽ സൂത്രവാക്യം 2πr² ആണ്. ഏത് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാലും അനുപാതം ഒന്ന് തന്നെയായിരിക്കും. നമുക്ക് പൂർണ്ണ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം ഉപയോഗിക്കാം.
2. ആരങ്ങൾ: ആരങ്ങളുടെ അനുപാതം 1 : 2 ആയതുകൊണ്ട്, നമുക്ക് ആദ്യത്തെ അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ ആരം r₁ = 1x എന്നും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ആരം r₂ = 2x എന്നും എടുക്കാം.
3. വിസ്തീർണ്ണങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:
   • ആദ്യത്തെ അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (A₁) = 3π(r₁)² = 3π(1x)² = 3πx²
   • രണ്ടാമത്തെ അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (A₂) = 3π(r₂)² = 3π(2x)² = 3π(4x²) = 12πx²
5. അനുപാതം കണ്ടെത്തുക:
   • A₁ : A₂ = 3πx² : 12πx²
   • പൊതുവായ ഘടകങ്ങളായ 3, π, x² എന്നിവ ഒഴിവാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് 1 : 4 എന്ന് ലഭിക്കുന്നു.

ആശയം (Concept):
ഏതൊരു ദ്വിമാന (2D) അല്ലെങ്കിൽ ത്രിമാന (3D) രൂപത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം, അതിൻ്റെ നീളം, വീതി, ആരം പോലുള്ള അളവുകളുടെ വർഗ്ഗത്തിന് (square) ആനുപാതികമായിരിക്കും. അതായത്, വിസ്തീർണ്ണം ∝ (ആരം)².

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick/Shortcut):
ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ അനുപാതം സംബന്ധിച്ച ചോദ്യങ്ങളിൽ, ഈ തത്വം ഓർത്തുവെക്കുക:

• നീളങ്ങളുടെ (ആരം, വശം, ചുറ്റളവ്) അനുപാതം a : b ആണെങ്കിൽ,
• അവയുടെ വിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ (ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം, പാർശ്വതല വിസ്തീർണ്ണം) അനുപാതം a² : b² ആയിരിക്കും.
• അവയുടെ വ്യാപ്തങ്ങളുടെ (volumes) അനുപാതം a³ : b³ ആയിരിക്കും.

ഈ ചോദ്യത്തിൽ, ആരങ്ങളുടെ അനുപാതം 1 : 2 ആണ്. അതിനാൽ, ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ അനുപാതം 1² : 2² = 1 : 4 ആയിരിക്കും. ഈ എളുപ്പവഴി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇല്ലാതെ തന്നെ ഉത്തരം കണ്ടെത്താം.

---

ഉദാഹരണം 1: വ്യാപ്തത്തിന്റെ അനുപാതം (Volume Ratio)

ചോദ്യം: രണ്ട് ഗോളങ്ങളുടെ (spheres) ആരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം 2 : 3 ആണ്. എങ്കിൽ, അവയുടെ വ്യാപ്തങ്ങൾ (volumes) തമ്മിലുള്ള അനുപാതം എത്രയായിരിക്കും?
(A) 4 : 9
(B) 6 : 9
(C) 8 : 27
(D) 4 : 6
ശരിയായ ഉത്തരം: (C) 8 : 27

വിശദീകരണം:
മുകളിൽ പറഞ്ഞ എളുപ്പവഴി ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കാം.

• ആശയം: ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം അതിൻ്റെ ആരത്തിന്റെ ഘനത്തിന് (cube) ആനുപാതികമാണ്. (വ്യാപ്തം ∝ r³).
• തന്ത്രം: ആരങ്ങളുടെ അനുപാതം a : b ആണെങ്കിൽ, വ്യാപ്തങ്ങളുടെ അനുപാതം a³ : b³ ആയിരിക്കും.
• ഇവിടെ ആരങ്ങളുടെ അനുപാതം 2 : 3 ആണ്.
• അതുകൊണ്ട്, വ്യാപ്തങ്ങളുടെ അനുപാതം = 2³ : 3³ = 8 : 27.

---

ഉദാഹരണം 2: വിപരീത രീതിയിലുള്ള ചോദ്യം (Reverse Question)

ചോദ്യം: രണ്ട് സമചതുരക്കട്ടകളുടെ (cubes) വ്യാപ്തങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം 64 : 125 ആണ്. എങ്കിൽ, അവയുടെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം എത്ര?
(A) 4 : 5
(B) 8 : 25
(C) 16 : 25
(D) 8 : 5
ശരിയായ ഉത്തരം: (C) 16 : 25

വിശദീകരണം:
ഈ ചോദ്യം വിപരീത രീതിയിലാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. വ്യാപ്തത്തിൽ നിന്ന് വിസ്തീർണ്ണത്തിലേക്ക് പോകണം.

1. ആദ്യം വശങ്ങളുടെ അനുപാതം കണ്ടെത്തുക:
   • തന്ത്രം: വ്യാപ്തങ്ങളുടെ അനുപാതം a³ : b³ ആണെങ്കിൽ, വശങ്ങളുടെ അനുപാതം a : b ആയിരിക്കും.
   • വ്യാപ്തങ്ങളുടെ അനുപാതം = 64 : 125 = 4³ : 5³
   • അതുകൊണ്ട്, വശങ്ങളുടെ അനുപാതം (a : b) = ³√64 : ³√125 = 4 : 5.
3. ഇനി ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ അനുപാതം കണ്ടെത്തുക:
   • തന്ത്രം: വശങ്ങളുടെ അനുപാതം a : b ആണെങ്കിൽ, വിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ അനുപാതം a² : b² ആയിരിക്കും.
   • വശങ്ങളുടെ അനുപാതം 4 : 5 ആയതിനാൽ,
   • ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ അനുപാതം = 4² : 5² = 16 : 25.

ചോദ്യം 73: വിശദീകരണം (മീഡിയൻ)

ചോദ്യം: SSLC പരീക്ഷയിൽ 11 കുട്ടികളുടെ മാർക്കുകൾ 38, 30, 25, 20, 24, 33, 27, 36, 32, 28, 24 ആയാൽ മാർക്കുകളുടെ മീഡിയൻ (Median) എത്ര ?
(A) 27
(B) 30
(C) 28
(D) 24
ശരിയായ ഉത്തരം: (C) 28

വിശദീകരണം:

ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ മീഡിയൻ കണ്ടെത്താൻ താഴെ പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ പാലിക്കുക:

1. സംഖ്യകളെ ക്രമീകരിക്കുക: ആദ്യം തന്നിരിക്കുന്ന മാർക്കുകളെ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ (ചെറുതിൽ നിന്ന് വലുതിലേക്ക്) എഴുതുക.
   20, 24, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 36, 38
2. എണ്ണം കണ്ടെത്തുക: ഇവിടെ ആകെ 11 കുട്ടികളുടെ മാർക്കുകളുണ്ട് (n=11). ഇത് ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയാണ്.
3. മധ്യത്തിലുള്ള പദം കണ്ടെത്തുക: എണ്ണം (n) ഒറ്റസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, മീഡിയൻ എന്നത് (n+1)/2-ാം സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യയായിരിക്കും.
   • സ്ഥാനം = (11 + 1) / 2 = 12 / 2 = 6-ാം സ്ഥാനം.
5. മീഡിയൻ കണ്ടെത്തുക: ക്രമീകരിച്ച പട്ടികയിലെ ആറാമത്തെ സംഖ്യയാണ് മീഡിയൻ.
   • ആറാമത്തെ സംഖ്യ 28 ആണ്.

ആശയം (Concept):
ഒരു കൂട്ടം ഡാറ്റയെ ക്രമത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ, കൃത്യം മധ്യത്തിൽ വരുന്ന സംഖ്യയെയാണ് മീഡിയൻ എന്ന് പറയുന്നത്. ഡാറ്റയുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഒരു മധ്യപദം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ. ഇരട്ടസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, മധ്യത്തിലുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ശരാശരിയായിരിക്കും മീഡിയൻ.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick/Shortcut):
സംഖ്യകളെ ക്രമത്തിൽ എഴുതിയ ശേഷം, ഇരുവശത്തുനിന്നും ഓരോ സംഖ്യ വീതം വെട്ടിക്കളയുക. അവസാനം നടുക്ക് അവശേഷിക്കുന്ന സംഖ്യയായിരിക്കും മീഡിയൻ.

<del>20</del>, <del>24</del>, <del>24</del>, <del>25</del>, <del>27</del>, 28, <del>30</del>, <del>32</del>, <del>33</del>, <del>36</del>, <del>38</del>
ഇങ്ങനെ ചെയ്യുമ്പോൾ അവസാനം 28 എന്ന സംഖ്യ അവശേഷിക്കുന്നു.

---

ഉദാഹരണം 1: ശരാശരി (Mean or Average)

ചോദ്യം: ആദ്യത്തെ 5 അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ (Prime Numbers) ശരാശരി എത്ര?
(A) 5
(B) 5.6
(C) 3.6
(D) 7.2
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) 5.6

വിശദീകരണം:

1. ആദ്യത്തെ 5 അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക:
   2, 3, 5, 7, 11
   (ശ്രദ്ധിക്കുക: 1 ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യയല്ല).
2. സംഖ്യകളുടെ തുക കാണുക:
   തുക = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28
3. ശരാശരി കണ്ടെത്തുക:
   • സൂത്രവാക്യം: ശരാശരി = ആകെ തുക / എണ്ണം
   • ശരാശരി = 28 / 5 = 5.6

ആശയം (Concept):
ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ തുകയെ അവയുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ഫലമാണ് ശരാശരി. ഇത് ആ സംഖ്യകളുടെ കേന്ദ്ര പ്രവണതയെ (central tendency) സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ, ഒറ്റ സംഖ്യകൾ, ഇരട്ട സംഖ്യകൾ എന്നിവയുടെ ചോദ്യങ്ങളിൽ, ആദ്യത്തെ സംഖ്യ ഏതാണെന്ന് കൃത്യമായി ഓർമ്മിക്കുക. ഏറ്റവും ചെറിയ അഭാജ്യ സംഖ്യ ‘2’ ആണ്. പലരും ‘1’ അല്ലെങ്കിൽ ‘3’ വെച്ച് തുടങ്ങുന്നത് തെറ്റിന് കാരണമാകും.

---

ഉദാഹരണം 2: മോഡ് (Mode)

ചോദ്യം: ഒരു ക്ലാസ്സിലെ 10 കുട്ടികളുടെ ഭാരം (കിലോഗ്രാമിൽ) താഴെ പറയുന്നവയാണ്: 35, 38, 40, 38, 36, 45, 38, 36, 42, 40. ഈ ഡാറ്റയുടെ മോഡ് (Mode) എത്രയാണ്?
(A) 40
(B) 36
(C) 38
(D) 35
ശരിയായ ഉത്തരം: (C) 38

വിശദീകരണം:

1. മോഡ് എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കുക: ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും കൂടുതൽ തവണ ആവർത്തിക്കുന്ന സംഖ്യയെയാണ് മോഡ് എന്ന് പറയുന്നത്.
2. ഓരോ സംഖ്യയും എത്ര തവണ ആവർത്തിക്കുന്നു എന്ന് കണ്ടെത്തുക:
   • 35: 1 തവണ
   • 38: 3 തവണ
   • 40: 2 തവണ
   • 36: 2 തവണ
   • 45: 1 തവണ
   • 42: 1 തവണ
4. ഏറ്റവും കൂടുതൽ ആവർത്തിക്കുന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക:
   • ഇവിടെ ’38’ എന്ന സംഖ്യയാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ തവണ (3 തവണ) ആവർത്തിക്കുന്നത്.
   • അതുകൊണ്ട്, ഈ ഡാറ്റയുടെ മോഡ് 38 ആണ്.

ആശയം (Concept):
മോഡ് ഒരു ഡാറ്റാ സെറ്റിലെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ മൂല്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ചിലപ്പോൾ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ മോഡുകൾ ഉണ്ടാകാം (ബൈമോഡൽ), അല്ലെങ്കിൽ എല്ലാ സംഖ്യകളും ഒരു തവണ മാത്രം വന്നാൽ മോഡ് ഇല്ലാതിരിക്കാം.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
മീൻ (Mean), മീഡിയൻ (Median), മോഡ് (Mode) എന്നിവ തമ്മിൽ മാറിപ്പോകരുത്.

• മീൻ (Mean): ശരാശരി (Average)
• മീഡിയൻ (Median): നടുവിലുള്ളത് (Middle)
• മോഡ് (Mode): കൂടുതൽ തവണ വരുന്നത് (Most frequent)

ചോദ്യം 74: വിശദീകരണം (ക്ലോക്കിലെ കോണളവ്)

ചോദ്യം: ഒരു ക്ലോക്കിൽ സമയം 8.20 pm കാണിക്കുന്നു എങ്കിൽ മിനിറ്റ് സൂചിയും മണിക്കൂർ സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്ര ?
(A) 150°
(B) 130°
(C) 100°
(D) 120°
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) 130°

വിശദീകരണം:

ക്ലോക്കിലെ മണിക്കൂർ സൂചിയും മിനിറ്റ് സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് കണ്ടെത്താൻ ഒരു ലളിതമായ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം.

1. സൂത്രവാക്യം:
   കോണളവ് = | 30H – (11/2)M |
   ഇവിടെ,
   • H = മണിക്കൂർ (Hour)
   • M = മിനിറ്റ് (Minute)
3. വിലകൾ ചേർക്കുക:
   • H = 8
   • M = 20
5. കണക്കുകൂട്ടുക:
   • കോണളവ് = | (30 × 8) – (11/2 × 20) |
   • = | 240 – (11 × 10) |
   • = | 240 – 110 |
   • = 130°

ആശയം (Concept):
ഒരു ക്ലോക്ക് ഒരു പൂർണ്ണ വൃത്തമായതിനാൽ 360° ആണ്. മിനിറ്റ് സൂചി ഒരു മിനിറ്റിൽ 6° സഞ്ചരിക്കുമ്പോൾ, മണിക്കൂർ സൂചി ഒരു മിനിറ്റിൽ 0.5° മാത്രം സഞ്ചരിക്കുന്നു. ഈ രണ്ട് സൂചികളുടെയും സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണളവ്. ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പമാക്കുന്നതാണ് മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick/Shortcut):
ഈ സൂത്രവാക്യം | 30H – (11/2)M | മനഃപാഠമാക്കുക. ഏത് സമയം തന്നാലും ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വളരെ വേഗത്തിൽ ഉത്തരം കണ്ടെത്താം. ഉത്തരം 180° യേക്കാൾ കൂടുതൽ ലഭിച്ചാൽ, ആ ഉത്തരത്തെ 360° ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കണം (ചെറിയ കോണളവാണ് സാധാരണയായി ചോദിക്കാറ്).

---

ഉദാഹരണം 1: ക്ലോക്കിലെ പ്രതിബിംബം (Mirror Image)

ചോദ്യം: ഒരു ക്ലോക്കിൽ സമയം 4:40 ആണെങ്കിൽ, ഒരു കണ്ണാടിയിൽ അതിൻ്റെ പ്രതിബിംബം കാണിക്കുന്ന സമയം എത്രയായിരിക്കും?
(A) 8:20
(B) 7:40
(C) 7:20
(D) 8:40
ശരിയായ ഉത്തരം: (C) 7:20

വിശദീകരണം:
ക്ലോക്കിലെ സമയത്തിന്റെ പ്രതിബിംബം കണ്ടെത്താൻ, തന്നിരിക്കുന്ന സമയത്തെ 11:60 ൽ നിന്ന് കുറച്ചാൽ മതി. (11:60 എന്നത് 12 മണിക്ക് തുല്യമാണ്, കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ എളുപ്പത്തിനാണ് ഇങ്ങനെ എഴുതുന്നത്).

11 : 60

– 4 : 40

7 : 20

അതുകൊണ്ട്, കണ്ണാടിയിൽ കാണിക്കുന്ന സമയം 7:20 ആയിരിക്കും.

ആശയം (Concept):
ഒരു കണ്ണാടിയിൽ വസ്തുക്കളുടെ ഇടതും വലതും പരസ്പരം മാറുന്നു. ക്ലോക്കിന്റെ കാര്യത്തിൽ, യഥാർത്ഥ സമയവും പ്രതിബിംബത്തിലെ സമയവും കൂട്ടുമ്പോൾ എപ്പോഴും 12 മണിക്കൂർ (അല്ലെങ്കിൽ 12:00) ലഭിക്കും എന്ന തത്വത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് ഈ എളുപ്പവഴി പ്രവർത്തിക്കുന്നത്.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):

• തന്നിരിക്കുന്ന സമയം 1 മണിക്കും 11 മണിക്കും ഇടയിലാണെങ്കിൽ 11:60 ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക.
• തന്നിരിക്കുന്ന സമയം 11 മണിക്കും 1 മണിക്കും ഇടയിലാണെങ്കിൽ (ഉദാ: 11:25, 12:40), 23:60 ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക.

---

ഉദാഹരണം 2: സൂചികൾ ഒന്നിക്കുന്ന സമയം (Coincidence)

ചോദ്യം: 4 മണിക്കും 5 മണിക്കും ഇടയിൽ എപ്പോഴാണ് ക്ലോക്കിലെ മണിക്കൂർ, മിനിറ്റ് സൂചികൾ ഒരുമിച്ച് വരുന്നത് (ഒന്നിക്കുന്നത്)?
(A) 4 മണി കഴിഞ്ഞ് 20 മിനിറ്റ്
(B) 4 മണി കഴിഞ്ഞ് 21 ⁹/₁₁ മിനിറ്റ്
(C) 4 മണി കഴിഞ്ഞ് 22 ¹/₁₁ മിനിറ്റ്
(D) 4 മണി കഴിഞ്ഞ് 23 ⁵/₁₁ മിനിറ്റ്
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) 4 മണി കഴിഞ്ഞ് 21 ⁹/₁₁ മിനിറ്റ്

വിശദീകരണം:
ഒരു മണിക്കൂറിൽ മിനിറ്റ് സൂചി മണിക്കൂർ സൂചിയെക്കാൾ 55 മിനിറ്റ് സ്പേസ് കൂടുതൽ സഞ്ചരിക്കുന്നു. ഈ തത്വം ഉപയോഗിച്ച് കൃത്യമായ സമയം കണ്ടെത്താം.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
H മണിക്കും (H+1) മണിക്കും ഇടയിൽ സൂചികൾ ഒന്നിക്കുന്ന കൃത്യമായ മിനിറ്റ് കണ്ടെത്താൻ, H × (60/11) എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക.

1. വില ചേർക്കുക:
   • ഇവിടെ H = 4 (തുടങ്ങുന്ന മണിക്കൂർ).
   • മിനിറ്റ് = 4 × (60/11) = 240/11
3. ഭിന്നസംഖ്യയാക്കുക:
   • 240 നെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, ഹരണഫലം 21-ഉം ശിഷ്ടം 9-ഉം ലഭിക്കുന്നു.
   • അതായത്, 21 ⁹/₁₁ മിനിറ്റ്.
5. ഉത്തരം:
   • കൃത്യമായ സമയം: 4 മണി കഴിഞ്ഞ് 21 ⁹/₁₁ മിനിറ്റ്.

ആശയം (Concept):
ഓരോ മണിക്കൂറിലും ക്ലോക്കിലെ സൂചികൾ ഒരുമിച്ച് വരും (11-നും 1-നും ഇടയിലൊഴികെ). മിനിറ്റ് സൂചി മണിക്കൂർ സൂചിയെ മറികടക്കുന്ന ആ കൃത്യമായ സമയം കണ്ടെത്താനാണ് ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

ചോദ്യം 75: വിശദീകരണം (ഗണിത ക്രിയകളുടെ ക്രമം)

ചോദ്യം: 12 + (17−12) × 3 + 72 ÷ 8 = ?
(A) 52
(B) 60
(C) 36
(D) 40
ശരിയായ ഉത്തരം: (C) 36

വിശദീകരണം:

ഒന്നിലധികം ഗണിത ക്രിയകൾ (സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം) ഒരുമിച്ചു വരുമ്പോൾ, അവ ചെയ്യേണ്ടതിന് ഒരു പ്രത്യേക ക്രമമുണ്ട്. ഈ ക്രമത്തെ BODMAS നിയമം എന്ന് പറയുന്നു.

BODMAS നിയമം:

• B – Bracket (ബ്രാക്കറ്റ്)
• O – Of (ന്റെ)
• D – Division (ഹരണം)
• M – Multiplication (ഗുണനം)
• A – Addition (സങ്കലനം)
• S – Subtraction (വ്യവകലനം)

ഈ ക്രമം അനുസരിച്ച് ഈ ചോദ്യം ചെയ്യാം:

1. ഘട്ടം 1: Bracket (B)
   • ആദ്യം ബ്രാക്കറ്റിനുള്ളിലെ ക്രിയ ചെയ്യുക.
   • (17 – 12) = 5
   • ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇങ്ങനെയാകും: 12 + 5 × 3 + 72 ÷ 8
3. ഘട്ടം 2: Division (D)
   • അടുത്തതായി ഹരണം ചെയ്യുക.
   • 72 ÷ 8 = 9
   • ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇങ്ങനെയാകും: 12 + 5 × 3 + 9
5. ഘട്ടം 3: Multiplication (M)
   • അതിനുശേഷം ഗുണനം ചെയ്യുക.
   • 5 × 3 = 15
   • ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇങ്ങനെയാകും: 12 + 15 + 9
7. ഘട്ടം 4: Addition (A)
   • അവസാനം സങ്കലനം (കൂട്ടൽ) ചെയ്യുക.
   • 12 + 15 = 27
   • 27 + 9 = 36

ആശയം (Concept):
ഗണിത ക്രിയകൾക്ക് ഒരു മുൻഗണനാ ക്രമമുണ്ട്. ഈ ക്രമം തെറ്റിച്ചാൽ ഉത്തരം തെറ്റിപ്പോകും. BODMAS നിയമം ഈ ക്രമം ഓർക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
ഓരോ ഘട്ടവും കൃത്യമായി എഴുതി ചെയ്യുക. ഹരണവും ഗുണനവും ഒരുമിച്ച് വന്നാൽ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് എന്ന ക്രമത്തിൽ ചെയ്യണം. അതുപോലെ സങ്കലനവും വ്യവകലനവും ഒരുമിച്ച് വന്നാലും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് എന്ന ക്രമം പാലിക്കണം.

---

ഉദാഹരണം 1: ‘Of’ ഉൾപ്പെടുന്ന ചോദ്യം

ചോദ്യം: 50 ÷ 5 of 2 + 3 = ?
(A) 13
(B) 8
(C) 23
(D) 5
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) 8

വിശദീകരണം:
ഇവിടെ ‘of’ എന്ന ക്രിയയുണ്ട്. BODMAS നിയമം അനുസരിച്ച്, ഹരണത്തിന് മുൻപ് ‘of’ ചെയ്യണം.

1. ഘട്ടം 1: Of (O)
   • ‘of’ എന്നാൽ ‘ഗുണനം’ എന്നാണ് അർത്ഥം.
   • 5 of 2 = 5 × 2 = 10
   • ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇങ്ങനെയാകും: 50 ÷ 10 + 3
3. ഘട്ടം 2: Division (D)
   • 50 ÷ 10 = 5
   • ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇങ്ങനെയാകും: 5 + 3
5. ഘട്ടം 3: Addition (A)
   • 5 + 3 = 8

ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ ആദ്യം ഹരണം ചെയ്താൽ (50 ÷ 5 = 10), ഉത്തരം 10 × 2 + 3 = 23 (ഓപ്ഷൻ C) എന്ന് തെറ്റായി ലഭിക്കും. ‘Of’ ന് ഹരണത്തേക്കാൾ മുൻഗണനയുണ്ടെന്ന് ഓർക്കുക.

---

ഉദാഹരണം 2: ഹരണവും ഗുണനവും ഒരുമിച്ച് വരുമ്പോൾ

ചോദ്യം: 24 ÷ 6 × 2 – 4 + 5 = ?
(A) 1
(B) 9
(C) -7
(D) 4
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) 9

വിശദീകരണം:
BODMAS നിയമത്തിൽ ഹരണത്തിനും (D) ഗുണനത്തിനും (M) ഒരേ മുൻഗണനയാണ്. ഇവ ഒരുമിച്ച് വന്നാൽ, ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് എന്ന ക്രമത്തിൽ ക്രിയകൾ ചെയ്യണം.

1. ഘട്ടം 1: ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് ഹരണം ചെയ്യുക.
   • 24 ÷ 6 = 4
   • ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇങ്ങനെയാകും: 4 × 2 – 4 + 5
3. ഘട്ടം 2: ഗുണനം ചെയ്യുക.
   • 4 × 2 = 8
   • ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇങ്ങനെയാകും: 8 – 4 + 5
5. ഘട്ടം 3: ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് വ്യവകലനം ചെയ്യുക.
   • 8 – 4 = 4
   • ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇങ്ങനെയാകും: 4 + 5
7. ഘട്ടം 4: സങ്കലനം ചെയ്യുക.
   • 4 + 5 = 9

ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ ആദ്യം ഗുണനം ചെയ്താൽ (6 × 2 = 12), ഉത്തരം 24 ÷ 12 – 4 + 5 = 2 – 4 + 5 = 3 എന്ന് തെറ്റായി ലഭിക്കും. ഹരണവും ഗുണനവും ഒരുമിച്ച് വന്നാൽ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് എന്ന നിയമം നിർബന്ധമായും പാലിക്കണം.

ചോദ്യം 76: വിശദീകരണം (കോഡിങ്-ഡീകോഡിങ്)

ചോദ്യം: ഒരു കോഡ് ഭാഷയിൽ WHITE എന്ന വാക്ക് ZKLWH എന്നാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നതെങ്കിൽ BLACK എന്ന വാക്കിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എങ്ങനെയാണ്?
(A) FPEGO
(B) DNCEM
(C) HJMNP
(D) EODFN
ശരിയായ ഉത്തരം: (D) EODFN

വിശദീകരണം:

ഇവിടെ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന കോഡിങ് രീതി കണ്ടെത്തുകയാണ് ആദ്യ പടി.

1. ബന്ധം കണ്ടെത്തുക: WHITE എന്ന വാക്കിലെ ഓരോ അക്ഷരവും ZKLWH എന്ന കോഡിലെ അക്ഷരവുമായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്ന് നോക്കാം.
   • W (+3) → Z
   • H (+3) → K
   • I (+3) → L
   • T (+3) → W
   • E (+3) → H
3. രീതി മനസ്സിലാക്കുക: ഇവിടെ ഓരോ അക്ഷരവും ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിൽ 3 സ്ഥാനങ്ങൾ മുന്നോട്ട് മാറ്റിയിരിക്കുന്നു (+3 ഷിഫ്റ്റ്).
4. ഇതേ രീതി BLACK എന്ന വാക്കിന് ഉപയോഗിക്കുക:
   • B (+3) → E
   • L (+3) → O
   • A (+3) → D
   • C (+3) → F
   • K (+3) → N
6. ഉത്തരം: അതിനാൽ, BLACK എന്ന വാക്കിന്റെ കോഡ് EODFN എന്നാണ്.

ആശയം (Concept):
ഇത്തരം കോഡിങ്ങിനെ “ലെറ്റർ ഷിഫ്റ്റിങ്” (Letter Shifting) എന്ന് പറയുന്നു. അക്ഷരങ്ങളെ നിശ്ചിത എണ്ണം മുന്നോട്ടോ പിന്നോട്ടോ മാറ്റിയാണ് കോഡ് ഉണ്ടാക്കുന്നത്. ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ അക്ഷരങ്ങളുടെ സ്ഥാനവില (A=1, B=2, …) ഓർത്തുവെക്കുന്നത് ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ സഹായിക്കും.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):

• ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും അക്ഷരങ്ങളുടെ കോഡ് മാത്രം കണ്ടെത്തി ഓപ്ഷനുകൾ പരിശോധിക്കുക.
  • B യുടെ കോഡ് ‘E’ എന്നും K യുടെ കോഡ് ‘N’ എന്നും കിട്ടുമ്പോൾ, ‘E’ യിൽ തുടങ്ങി ‘N’ ൽ അവസാനിക്കുന്ന ഓപ്ഷൻ (D) ആണെന്ന് വേഗത്തിൽ ഉറപ്പിക്കാം.
• EJOTY (5, 10, 15, 20, 25) എന്ന കോഡ് ഓർത്തുവെക്കുന്നത് അക്ഷരങ്ങളുടെ സ്ഥാനവില വേഗത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ സഹായിക്കും.

---

ഉദാഹരണം 1: വിപരീത അക്ഷര ജോഡികൾ (Opposite Pairs)

ചോദ്യം: ഒരു കോഡ് ഭാഷയിൽ, KING എന്നത് PRMT എന്ന് എഴുതാമെങ്കിൽ, RAIL എന്നത് എങ്ങനെ എഴുതാം?
(A) IZRO
(B) IZRO
(C) JZRO
(D) IAZR
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) IZRO

വിശദീകരണം:
ഇവിടെ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന രീതി വിപരീത അക്ഷര ജോഡികളാണ് (Opposite Pairs in Alphabet).

• A ↔ Z
• B ↔ Y
• C ↔ X … എന്നിങ്ങനെ.

1. ബന്ധം കണ്ടെത്തുക:
   • K യുടെ വിപരീത അക്ഷരമാണ് P (KP).
   • I യുടെ വിപരീത അക്ഷരമാണ് R (IR – Indian Railway).
   • N യുടെ വിപരീത അക്ഷരമാണ് M (MN).
   • G യുടെ വിപരീത അക്ഷരമാണ് T (GT – GT Road).
3. ഇതേ രീതി RAIL എന്ന വാക്കിന് ഉപയോഗിക്കുക:
   • R ↔ I
   • A ↔ Z
   • I ↔ R
   • L ↔ O (LOve)
5. ഉത്തരം: അതിനാൽ, RAIL എന്നതിൻ്റെ കോഡ് IZRO എന്നാണ്.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
ഈ വിപരീത ജോഡികൾ ഓർത്തുവെക്കാൻ ചില എളുപ്പവഴികൾ പഠിക്കുക (ഉദാ: AZ – ആമസോൺ, BY – ബൈ, CX, DW, EV – ഈവനിംഗ്, FU – ഫൺ, GT, HS – ഹൈസ്കൂൾ, IR, JQ – ജാക്ക് & ക്വീൻ, KP, LO, MN).

---

ഉദാഹരണം 2: അക്ഷരങ്ങളെ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നത് (Jumbling/Rearranging Letters)

ചോദ്യം: ഒരു കോഡ് ഭാഷയിൽ, BREAKDOWN എന്നത് NWODKAERB എന്ന് എഴുതാമെങ്കിൽ, TRIANGLES എന്നത് എങ്ങനെ എഴുതാം?
(A) SELGNAIRT
(B) SELGNARIT
(C) SELGNAIRF
(D) SELGNTRIA
ശരിയായ ഉത്തരം: (A) SELGNAIRT

വിശദീകരണം:
ഇവിടെ പുതിയ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല. പകരം, തന്നിരിക്കുന്ന വാക്കിലെ അക്ഷരങ്ങളെ അതേപടി വിപരീത ദിശയിൽ എഴുതുകയാണ് ചെയ്യുന്നത്.

1. ബന്ധം കണ്ടെത്തുക:
   • BREAKDOWN → N-W-O-D-K-A-E-R-B (പൂർണ്ണമായും പുറകിൽ നിന്ന് മുന്നോട്ട് എഴുതിയിരിക്കുന്നു).
3. ഇതേ രീതി TRIANGLES എന്ന വാക്കിന് ഉപയോഗിക്കുക:
   • T-R-I-A-N-G-L-E-S എന്നതിനെ വിപരീത ക്രമത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ S-E-L-G-N-A-I-R-T എന്ന് ലഭിക്കുന്നു.
5. ഉത്തരം: അതിനാൽ, TRIANGLES എന്നതിൻ്റെ കോഡ് SELGNAIRT എന്നാണ്.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
ഒരു കോഡിങ് ചോദ്യം കിട്ടുമ്പോൾ, കോഡിലെ അക്ഷരങ്ങളും യഥാർത്ഥ വാക്കിലെ അക്ഷരങ്ങളും ഒന്നുതന്നെയാണോ എന്ന് ആദ്യം പരിശോധിക്കുക. അതെ എന്നാണെങ്കിൽ, അതൊരു പുനഃക്രമീകരണ (Rearrangement) ചോദ്യമാണെന്ന് ഉറപ്പിക്കാം. ഇത് സ്ഥാനമാറ്റം കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു.

ചോദ്യം 77: വിശദീകരണം (ഒറ്റയാനെ കണ്ടെത്തുക)

ചോദ്യം: ഒറ്റയാനെ കണ്ടെത്തുക: 59, 73, 87, 47
(A) 87
(B) 59
(C) 47
(D) 73
ശരിയായ ഉത്തരം: (A) 87

വിശദീകരണം:

ഇവിടെ തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളെല്ലാം ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ ഒരുപോലെ തോന്നാം. ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങളിൽ, സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ സ്വഭാവങ്ങൾ പരിശോധിക്കുകയാണ് വേണ്ടത്.

1. അഭാജ്യ സംഖ്യ/ഭാജ്യ സംഖ്യ (Prime/Composite):
   • 59: ഒന്നും 59-ഉം അല്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാൻ സാധ്യമല്ല. അതിനാൽ ഇത് ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യയാണ് (Prime Number).
   • 73: ഒന്നും 73-ഉം അല്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാൻ സാധ്യമല്ല. അതിനാൽ ഇതും ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്.
   • 47: ഒന്നും 47-ഉം അല്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാൻ സാധ്യമല്ല. അതിനാൽ ഇതും ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്.
   • 87: ഈ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ തുക 8 + 7 = 15 ആണ്. 15-നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ സാധിക്കുന്നതുകൊണ്ട്, 87-നെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ സാധിക്കും (87 = 3 × 29). അതിനാൽ, 87 ഒരു ഭാജ്യ സംഖ്യയാണ് (Composite Number).
3. ഉത്തരം കണ്ടെത്തൽ:
   • നാല് സംഖ്യകളിൽ, 59, 73, 47 എന്നിവ അഭാജ്യ സംഖ്യകളും 87 മാത്രം ഭാജ്യ സംഖ്യയുമാണ്. അതിനാൽ, കൂട്ടത്തിൽ പെടാത്തത് 87 ആണ്.

ആശയം (Concept):
ഒറ്റയാനെ കണ്ടെത്താനുള്ള ചോദ്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു രീതിയാണ് അഭാജ്യ-ഭാജ്യ സംഖ്യകളെ വേർതിരിക്കുന്നത്. ഒന്നും അതേ സംഖ്യയും മാത്രം ഘടകങ്ങളായിട്ടുള്ള സംഖ്യകളാണ് അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ. രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ഘടകങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളാണ് ഭാജ്യ സംഖ്യകൾ.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
ഒരു സംഖ്യ അഭാജ്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ, അതിനെ ചെറിയ അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ (2, 3, 5, 7, 11…) കൊണ്ട് ഹരിച്ചുനോക്കുക. ഹരണ നിയമങ്ങൾ (Divisibility Rules) ഓർത്തുവെക്കുന്നത് വേഗത വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കും.

---

ഉദാഹരണം 1: വർഗ്ഗങ്ങളും ഘനങ്ങളും (Squares and Cubes)

ചോദ്യം: ഒറ്റയാനെ കണ്ടെത്തുക: 8, 64, 125, 216
(A) 8
(B) 64
(C) 125
(D) 216
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) 64

വിശദീകരണം:
ഇവിടെ സംഖ്യകളെല്ലാം പൂർണ്ണ ഘനങ്ങളാണ് (Perfect Cubes).

• 8 = 2³ (2 × 2 × 2)
• 125 = 5³ (5 × 5 × 5)
• 216 = 6³ (6 × 6 × 6)
• 64 = 4³ (4 × 4 × 4)

എന്നാൽ, 64 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനം (4³) എന്നതിനൊപ്പം ഒരു പൂർണ്ണ വർഗ്ഗം (8²) കൂടിയാണ്. മറ്റ് സംഖ്യകളൊന്നും പൂർണ്ണ വർഗ്ഗങ്ങളല്ല. അതിനാൽ, കൂട്ടത്തിൽ വേറിട്ടുനിൽക്കുന്നത് 64 ആണ്.

ആശയം (Concept):
ചിലപ്പോൾ എല്ലാ സംഖ്യകളും ഒരേ വിഭാഗത്തിൽ (ഉദാ: ഘനങ്ങൾ) പെടുന്നവയായിരിക്കും. അങ്ങനെയെങ്കിൽ, അവയിൽ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയ്ക്ക് മറ്റുള്ളവയ്ക്കില്ലാത്ത ഒരു പ്രത്യേകതയുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കണം.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങളും (cubes) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളും (squares) മനഃപാഠമാക്കുന്നത് ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങൾക്ക് വേഗത്തിൽ ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ സഹായിക്കും.

---

ഉദാഹരണം 2: അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

ചോദ്യം: ഒറ്റയാനെ കണ്ടെത്തുക: 145, 257, 325, 485
(A) 145
(B) 257
(C) 325
(D) 485
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) 257

വിശദീകരണം:
ഇവിടെ സംഖ്യകൾക്ക് ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ മറ്റു ബന്ധങ്ങളൊന്നും കാണാൻ കഴിയില്ല. അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പരിശോധിക്കാം.

• 145: അവസാനത്തെ അക്കം 5 ആണ്.
• 257: അവസാനത്തെ അക്കം 7 ആണ്.
• 325: അവസാനത്തെ അക്കം 5 ആണ്.
• 485: അവസാനത്തെ അക്കം 5 ആണ്.

ഇവിടെ, 257 ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളും 5-ൽ അവസാനിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ട് അവയെ 5 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ സാധിക്കും. എന്നാൽ 257-നെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ സാധിക്കില്ല. അതിനാൽ, ഒറ്റയാൻ 257 ആണ്.

ആശയം (Concept):
ചിലപ്പോൾ സംഖ്യയുടെ പൂർണ്ണമായ വിലയേക്കാൾ, അതിലെ അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധമോ അല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യയുടെ ഹരണ നിയമങ്ങളോ (Divisibility Rules) ആയിരിക്കും ഉത്തരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നത്.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
പ്രൈം, സ്ക്വയർ, ക്യൂബ് തുടങ്ങിയ ബന്ധങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിഞ്ഞില്ലെങ്കിൽ, സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ തുക, ഗുണനഫലം, അല്ലെങ്കിൽ ഹരണ നിയമങ്ങൾ എന്നിവ പരിശോധിക്കുക.

ചോദ്യം 78: വിശദീകരണം (ദിശയും ദൂരവും)

ചോദ്യം: രാമു തൻ്റെ ഓഫീസിൽ നിന്ന് കിഴക്കോട്ട് 40m നടക്കുന്നു. അവിടെ നിന്ന് വലത്തോട്ട് 8m നടന്നു. ശേഷം വലത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞ് 25m നടന്നു. എങ്കിൽ രാമു തൻ്റെ ഓഫീസിൽ നിന്ന് എത്ര മീറ്റർ അകലെയാണ്?
(A) 8m
(B) 15m
(C) 17m
(D) 40m
ശരിയായ ഉത്തരം: (C) 17m

വിശദീകരണം:

ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ, രാമു സഞ്ചരിച്ച പാത ഒരു ചിത്രമായി വരയ്ക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കും. ഇവിടെ കണ്ടെത്തേണ്ടത് യാത്ര തുടങ്ങിയ സ്ഥലവും അവസാനിച്ച സ്ഥലവും തമ്മിലുള്ള കുറഞ്ഞ ദൂരമാണ് (Shortest Distance). ഇതിനായി നമ്മൾ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കണം.

1. ചിത്രം വരയ്ക്കുക:
   • രാമു ഓഫീസിൽ (A) നിന്ന് കിഴക്കോട്ട് 40 മീറ്റർ നടന്ന് (B) എന്ന സ്ഥലത്തെത്തുന്നു.
   • അവിടെ നിന്ന് വലത്തോട്ട് (തെക്കോട്ട്) തിരിഞ്ഞ് 8 മീറ്റർ നടന്ന് (C) എന്ന സ്ഥലത്തെത്തുന്നു.
   • അവിടെ നിന്ന് വലത്തോട്ട് (പടിഞ്ഞാറോട്ട്) തിരിഞ്ഞ് 25 മീറ്റർ നടന്ന് (D) എന്ന സ്ഥലത്ത് യാത്ര അവസാനിപ്പിക്കുന്നു.
3. മട്ടത്രികോണം (Right-angled Triangle) രൂപീകരിക്കുക:
   • നമുക്ക് കണ്ടെത്തേണ്ടത് AD എന്ന ദൂരമാണ്. ഇതിനായി, D എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് AB എന്ന രേഖയിലേക്ക് ഒരു ലംബം (perpendicular) വരയ്ക്കുക. ഇത് AB-യെ E എന്ന ബിന്ദുവിൽ മുറിക്കുന്നു.
   • ഇപ്പോൾ നമുക്ക് AED എന്ന ഒരു മട്ടത്രികോണം ലഭിച്ചു.
5. മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:
   • ലംബ വശം (DE) = BC = 8 മീറ്റർ.
   • പാദ വശം (AE) = AB – EB = 40 – 25 = 15 മീറ്റർ (കാരണം EB = DC = 25m).
7. പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുക:
   • കർണ്ണം² = പാദം² + ലംബം²
   • AD² = AE² + DE²
   • AD² = 15² + 8²
   • AD² = 225 + 64 = 289
   • AD = √289 = 17 മീറ്റർ

ആശയം (Concept):
ദിശ സംബന്ധമായ ചോദ്യങ്ങളിൽ കുറഞ്ഞ ദൂരം കണ്ടെത്താൻ ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ, യാത്രയുടെ തുടക്കവും ഒടുക്കവും കർണ്ണമായി വരുന്ന ഒരു മട്ടത്രികോണം രൂപീകരിച്ച് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുക.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
ചില പ്രധാന പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യാത്രയങ്ങൾ (Pythagorean Triplets) മനഃപാഠമാക്കുന്നത് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ സഹായിക്കും. ഉദാ:

• (3, 4, 5)
• (5, 12, 13)
• (8, 15, 17)
• (7, 24, 25)
  ഈ ചോദ്യത്തിൽ, മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 8-ഉം 15-ഉം ആണെന്ന് കണ്ടെത്തിയാൽ, കർണ്ണം 17 ആയിരിക്കുമെന്ന് നേരിട്ട് മനസ്സിലാക്കാം.

---

ഉദാഹരണം 1: ദിശാമാറ്റം (Final Direction)

ചോദ്യം: ഒരാൾ തൻ്റെ വീട്ടിൽ നിന്ന് വടക്കോട്ട് നടക്കാൻ തുടങ്ങി. 10 മീറ്റർ നടന്ന ശേഷം അയാൾ വലത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞു. 5 മീറ്റർ നടന്ന ശേഷം വീണ്ടും വലത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞു. 10 മീറ്റർ നടന്ന ശേഷം ഇടത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞു. എങ്കിൽ, അയാൾ ഇപ്പോൾ ഏത് ദിശയിലേക്കാണ് നടക്കുന്നത്?
(A) കിഴക്ക്
(B) പടിഞ്ഞാറ്
(C) വടക്ക്
(D) തെക്ക്
ശരിയായ ഉത്തരം: (A) കിഴക്ക്

വിശദീകരണം:
ഇവിടെ ദൂരം പ്രധാനമല്ല, ദിശമാറ്റം മാത്രം ശ്രദ്ധിച്ചാൽ മതി.

1. ആദ്യം നടന്നത്: വടക്ക്
2. ആദ്യത്തെ തിരിവ്: വലത്തോട്ട് (വടക്ക് നിന്ന് വലത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞാൽ കിഴക്ക്)
3. രണ്ടാമത്തെ തിരിവ്: വലത്തോട്ട് (കിഴക്ക് നിന്ന് വലത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞാൽ തെക്ക്)
4. മൂന്നാമത്തെ തിരിവ്: ഇടത്തോട്ട് (തെക്ക് നിന്ന് ഇടത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞാൽ കിഴക്ക്)

അതുകൊണ്ട്, അയാൾ അവസാനം നടക്കുന്നത് കിഴക്ക് ദിശയിലേക്കാണ്.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
ഒരു വലത് തിരിവും (Right Turn) ഒരു ഇടത് തിരിവും (Left Turn) പരസ്പരം റദ്ദാക്കിപ്പോകും. ഈ ചോദ്യത്തിൽ രണ്ട് വലത് തിരിവും ഒരു ഇടത് തിരിവുമാണുള്ളത്. അതായത്, ആകെ ഒരു വലത് തിരിവിന് തുല്യം.

• തുടങ്ങിയത്: വടക്ക്
• ആകെ തിരിവ്: ഒരു വലത് തിരിവ്
• അവസാന ദിശ: വടക്ക് നിന്ന് വലത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞാൽ കിഴക്ക്.

---

ഉദാഹരണം 2: കോണളവും ദിശയും (Angles and Direction)

ചോദ്യം: പടിഞ്ഞാറോട്ട് അഭിമുഖമായി നിൽക്കുന്ന ഒരാൾ, ഘടികാരദിശയിൽ (clockwise) 90° തിരിഞ്ഞു. തുടർന്ന്, എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ (anti-clockwise) 135° തിരിഞ്ഞു. അയാൾ ഇപ്പോൾ ഏത് ദിശയിലേക്കാണ് അഭിമുഖമായി നിൽക്കുന്നത്?
(A) തെക്ക്
(B) തെക്ക്-പടിഞ്ഞാറ്
(C) തെക്ക്-കിഴക്ക്
(D) വടക്ക്-പടിഞ്ഞാറ്
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) തെക്ക്-പടിഞ്ഞാറ്

വിശദീകരണം (സാധാരണ രീതി):

1. ആദ്യ ദിശ: പടിഞ്ഞാറ്.
2. ഘടികാരദിശയിൽ 90° തിരിയുമ്പോൾ: പടിഞ്ഞാറ് നിന്ന് 90° clockwise തിരിഞ്ഞാൽ വടക്ക് ദിശയിലെത്തും.
3. എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ 135° തിരിയുമ്പോൾ: വടക്ക് നിന്ന് 135° anti-clockwise തിരിയുമ്പോൾ,
   • ആദ്യം 90° തിരിഞ്ഞ് പടിഞ്ഞാറ് എത്തും.
   • പിന്നെ ഒരു 45° കൂടി തിരിഞ്ഞ് തെക്ക്-പടിഞ്ഞാറ് ദിശയിലെത്തും.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick – Net Rotation):
ആകെ തിരിവ് എത്രയാണെന്ന് കണ്ടെത്തുക.

• ഘടികാരദിശ (Clockwise): +90°
• എതിർഘടികാരദിശ (Anti-clockwise): -135°
• ആകെ തിരിവ് (Net Rotation) = 90 – 135 = -45° (അതായത്, 45° എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ).
• തുടങ്ങിയ ദിശ: പടിഞ്ഞാറ്.
• അവിടെ നിന്ന് 45° എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ (anti-clockwise) തിരിഞ്ഞാൽ ലഭിക്കുന്ന ദിശയാണ് തെക്ക്-പടിഞ്ഞാറ്.

ചോദ്യം 79: വിശദീകരണം (ഒരു നിരയിലെ ആകെ എണ്ണം)

ചോദ്യം: ഒരു ക്യൂവിൽ ദീപ പിന്നിൽ നിന്ന് ഒൻപതാമതും മുന്നിൽ നിന്ന് ഏഴാമതും ആണെങ്കിൽ എത്ര പേർ ക്യൂവിലുണ്ട് ?
(A) 15
(B) 18
(C) 16
(D) 12
ശരിയായ ഉത്തരം: (A) 15

വിശദീകരണം:

ഇവിടെ ഒരാളുടെ തന്നെ സ്ഥാനം മുന്നിൽ നിന്നും പിന്നിൽ നിന്നും തന്നിരിക്കുന്നു. ക്യൂവിലെ ആകെ ആളുകളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ ഈ രണ്ട് സ്ഥാനങ്ങളും കൂട്ടി, അതിൽ നിന്ന് 1 കുറയ്ക്കണം.

1. സൂത്രവാക്യം:
   ആകെ എണ്ണം (Total) = മുന്നിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനം (F) + പിന്നിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനം (B) – 1
2. എന്തുകൊണ്ട് 1 കുറയ്ക്കുന്നു?
   • മുന്നിൽ നിന്ന് ഏഴാമത് എന്ന് എണ്ണുമ്പോഴും (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7-ദീപ) പിന്നിൽ നിന്ന് ഒൻപതാമത് എന്ന് എണ്ണുമ്പോഴും (9-ദീപ) നമ്മൾ ദീപയെ രണ്ട് തവണ എണ്ണുന്നുണ്ട്. ഈ അധികമായി എണ്ണിയ ഒന്ന് ഒഴിവാക്കാനാണ് 1 കുറയ്ക്കുന്നത്.
4. കണക്കുകൂട്ടൽ:
   • മുന്നിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനം = 7
   • പിന്നിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനം = 9
   • ആകെ എണ്ണം = 7 + 9 – 1
   • = 16 – 1 = 15

ആശയം (Concept):
ഒരു നിരയിൽ ഒരേ വ്യക്തിയുടെ സ്ഥാനം രണ്ട് അറ്റങ്ങളിൽ നിന്നും തന്നിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ആകെ എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിൽ കൂട്ടി 1 കുറയ്ക്കുക.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
ഈ സൂത്രവാക്യം മനഃപാഠമാക്കുക: Total = Front + Back – 1.

---

ഉദാഹരണം 1: മറ്റേ അറ്റത്തുനിന്നുള്ള സ്ഥാനം കണ്ടെത്തൽ

ചോദ്യം: 50 പേരുള്ള ഒരു ക്ലാസ്സിൽ, അരുണിൻ്റെ റാങ്ക് മുകളിൽ നിന്ന് 22-ആമത് ആണ്. എങ്കിൽ, താഴെ നിന്ന് അരുണിൻ്റെ റാങ്ക് എത്രയായിരിക്കും?
(A) 28
(B) 29
(C) 30
(D) 27
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) 29

വിശദീകരണം:
ഇവിടെ ആകെ എണ്ണവും ഒരറ്റത്തുനിന്നുള്ള സ്ഥാനവും തന്നിട്ടുണ്ട്. മറ്റേ അറ്റത്തുനിന്നുള്ള സ്ഥാനം കണ്ടെത്താനാണ് ചോദ്യം.

1. സൂത്രവാക്യം:
   മറ്റേ അറ്റത്തുനിന്നുള്ള സ്ഥാനം = (ആകെ എണ്ണം – തന്നിരിക്കുന്ന സ്ഥാനം) + 1
2. എന്തുകൊണ്ട് 1 കൂട്ടുന്നു?
   • 50 പേരിൽ നിന്ന് 22 കുറച്ചാൽ (50 – 22 = 28), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് അരുണിന് താഴെയുള്ള കുട്ടികളുടെ എണ്ണമാണ്. അരുണിൻ്റെ സ്ഥാനം കിട്ടാൻ, ആ 28 പേരോടൊപ്പം അരുണിനെയും (1) ചേർക്കണം.
4. കണക്കുകൂട്ടൽ:
   • ആകെ എണ്ണം = 50
   • മുകളിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനം = 22
   • താഴെ നിന്നുള്ള സ്ഥാനം = (50 – 22) + 1
   • = 28 + 1 = 29

ആശയം (Concept):
ആകെ എണ്ണവും ഒരറ്റത്തുനിന്നുള്ള സ്ഥാനവും അറിയാമെങ്കിൽ, മറ്റേ അറ്റത്തുനിന്നുള്ള സ്ഥാനം കണ്ടെത്താൻ Total – Rank + 1 എന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കാം.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
ഈ സൂത്രവാക്യം ഓർക്കുക: Rank from other end = (Total – Given Rank) + 1.

---

ഉദാഹരണം 2: സ്ഥാനങ്ങൾ പരസ്പരം മാറുമ്പോൾ

ചോദ്യം: ഒരു വരിയിൽ, അഖിൽ ഇടത്തുനിന്ന് 10-ആമതും, വിമൽ വലത്തുനിന്ന് 15-ആമതും ആണ്. അവർ പരസ്പരം സ്ഥാനം മാറിയപ്പോൾ, അഖിൽ ഇടത്തുനിന്ന് 18-ആമതായി. എങ്കിൽ, ആ വരിയിൽ ആകെ എത്ര പേരുണ്ട്?
(A) 28
(B) 30
(C) 32
(D) 33
ശരിയായ ഉത്തരം: (C) 32

വിശദീകരണം:
ഇവിടെയാണ് പലർക്കും ആശയക്കുഴപ്പം വരാറ്. ഇത് ശ്രദ്ധിച്ചു മനസ്സിലാക്കുക.

1. സ്ഥാനം മാറുമ്പോൾ എന്ത് സംഭവിക്കുന്നു?
   • അഖിലും വിമലും സ്ഥാനം മാറുമ്പോൾ, അഖിൽ വരുന്നത് വിമലിന്റെ പഴയ സ്ഥാനത്താണ്.
   • സ്ഥാനം മാറിയ ശേഷം “അഖിൽ ഇടത്തുനിന്ന് 18-ആമതായി” എന്ന് പറഞ്ഞാൽ, വിമലിന്റെ പഴയ സ്ഥാനമാണ് ഇടത്തുനിന്ന് 18-ആമത് എന്ന് നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാം.
3. നമ്മുടെ കയ്യിലുള്ള വിവരങ്ങൾ:
   • വിമലിന്റെ പഴയ സ്ഥാനം: വലത്തുനിന്ന് 15-ആമത്.
   • വിമലിന്റെ പഴയ സ്ഥാനം: ഇടത്തുനിന്ന് 18-ആമത് (ഇത് അഖിലിന്റെ പുതിയ സ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് കിട്ടി).
5. ആകെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക:
   • ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരേ സ്ഥാനത്തിന്റെ (വിമലിന്റെ പഴയ സ്ഥാനം) ഇടത്തുനിന്നും വലത്തുനിന്നുമുള്ള റാങ്കുകൾ കിട്ടി.
   • ഇനി നമ്മുടെ ആദ്യത്തെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം: Total = F + B – 1
   • ആകെ എണ്ണം = 18 (ഇടത്തുനിന്ന്) + 15 (വലത്തുനിന്ന്) – 1
   • = 33 – 1 = 32

ആശയം (Concept):
സ്ഥാനം മാറുന്ന ചോദ്യങ്ങളിൽ, ഒരാളുടെ പുതിയ സ്ഥാനം എന്നത് മറ്റേയാളുടെ പഴയ സ്ഥാനമാണ്. ഈ ഒരൊറ്റ പോയിൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരേ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ രണ്ട് അറ്റത്തുനിന്നുമുള്ള റാങ്കുകൾ കണ്ടെത്തി ആകെ എണ്ണം കണക്കാക്കാം.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):
Total = (ഒരാളുടെ പുതിയ സ്ഥാനം) + (മറ്റേയാളുടെ പഴയ സ്ഥാനം) – 1.

ചോദ്യം 80: വിശദീകരണം

ചോദ്യം: √(0.00036 × 0.000064) = ?
(A) 4800
(B) 4.8
(C) 480
(D) 48
ശരിയായ ഉത്തരം: (C) 480

പ്രധാന കുറിപ്പ്: ഈ ചോദ്യത്തിലോ അല്ലെങ്കിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉത്തരത്തിലോ വ്യക്തമായ ഒരു പിശകുണ്ട്. കാരണം, 0.00036 × 0.000064 എന്നത് വളരെ ചെറിയ ഒരു ദശാംശ സംഖ്യയാണ് (ഏകദേശം 0.000000023). അതിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലം ഇതിലും ചെറിയ ഒരു സംഖ്യയായിരിക്കും (ഏകദേശം 0.00015). എന്നാൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഓപ്ഷനുകളെല്ലാം വലിയ സംഖ്യകളാണ്.

ചോദ്യം ഉദ്ദേശിച്ചത് √(36 × 6400) എന്നായിരിക്കാം. ആ രീതിയിൽ ഈ ചോദ്യം എങ്ങനെ ശരിയായ ഉത്തരത്തിലേക്ക് എത്തുന്നു എന്ന് താഴെ വിശദീകരിക്കുന്നു.

വിശദീകരണം (പിശക് തിരുത്തിയ ചോദ്യപ്രകാരം):

ചോദ്യം √(36 × 6400) ആണെന്ന് കരുതുക.

1. വർഗ്ഗമൂലത്തെ വിഭജിക്കുക: √(a × b) = √a × √b എന്ന നിയമം ഉപയോഗിക്കാം.
   √(36 × 6400) = √36 × √6400
2. ഓരോന്നിൻ്റെയും വർഗ്ഗമൂലം കാണുക:
   • √36 = 6
   • √6400 = √(64 × 100) = √64 × √100 = 8 × 10 = 80
4. ഗുണിക്കുക:
   • 6 × 80 = 480

ഈ രീതിയിൽ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഉത്തരം 480 എന്ന് ലഭിക്കുന്നു. പരീക്ഷകളിൽ ഇത്തരം അക്ഷരത്തെറ്റുകൾ വരാൻ സാധ്യതയുണ്ട്.

യഥാർത്ഥ ചോദ്യം എങ്ങനെ ചെയ്യാം (ദശാംശം ഉപയോഗിച്ച്):

ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലം കാണുമ്പോൾ, ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, വർഗ്ഗമൂലത്തിൽ അതിൻ്റെ പകുതി ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.

തന്ത്രം/എളുപ്പവഴി (Trick):

1. ദശാംശം ഒഴിവാക്കി സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലം കാണുക (√36=6, √64=8).
2. ഗുണനഫലം കാണുക (6 × 8 = 48).
3. വർഗ്ഗമൂലത്തിനകത്തുള്ള ആകെ ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ എണ്ണുക. ഈ സ്ഥാനങ്ങളുടെ പകുതിയായിരിക്കും ഉത്തരത്തിലെ ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ. (ഈ നിയമം ശരിയായി പ്രവർത്തിക്കാൻ ആകെ ദശാംശ സ്ഥാനം ഇരട്ടസംഖ്യയായിരിക്കണം).

---

ഉദാഹരണം 1: ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലം

ചോദ്യം: √1.21 + √0.0004 = ?
(A) 1.12
(B) 1.3
(C) 0.13
(D) 1.102
ശരിയായ ഉത്തരം: (A) 1.12

വിശദീകരണം:

1. ആദ്യത്തെ സംഖ്യ: √1.21
   • ദശാംശം ഒഴിവാക്കുക: √121 = 11.
   • വർഗ്ഗമൂലത്തിനകത്ത് 2 ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുണ്ട്. അതിനാൽ ഉത്തരത്തിൽ 2/2 = 1 ദശാംശ സ്ഥാനം വേണം.
   • അതുകൊണ്ട്, √1.21 = 1.1.
3. രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ: √0.0004
   • ദശാംശം ഒഴിവാക്കുക: √4 = 2.
   • വർഗ്ഗമൂലത്തിനകത്ത് 4 ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുണ്ട്. അതിനാൽ ഉത്തരത്തിൽ 4/2 = 2 ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ വേണം.
   • അതുകൊണ്ട്, √0.0004 = 0.02.
5. തുക കാണുക:
   • 1.1 + 0.02 = 1.12

ആശയം (Concept):
ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലം കാണുമ്പോൾ, ആദ്യം പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലം കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുടെ പകുതി എണ്ണം ഉത്തരത്തിൽ ചേർക്കുക.

---

ഉദാഹരണം 2: ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലം

ചോദ്യം: √(196/49) × √(625/25) = ?
(A) 5
(B) 10
(C) 25
(D) 2
ശരിയായ ഉത്തരം: (B) 10

വിശദീകരണം:

1. ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യ: √(196/49)
   • √196 = 14
   • √49 = 7
   • √(196/49) = 14/7 = 2.
3. രണ്ടാമത്തെ ഭിന്നസംഖ്യ: √(625/25)
   • രീതി 1: √625 = 25, √25 = 5. 25/5 = 5.
   • രീതി 2 (എളുപ്പവഴി): ആദ്യം ഭിന്നസംഖ്യയെ ലഘൂകരിക്കുക. 625/25 = 25. അപ്പോൾ √25 = 5.
5. ഗുണനഫലം കാണുക:
   • 2 × 5 = 10.

ആശയം (Concept):
ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലം കാണാൻ, അംശത്തിൻ്റെയും (numerator) ഛേദത്തിൻ്റെയും (denominator) വർഗ്ഗമൂലം വെവ്വേറെ കണ്ട് ഹരിക്കുക. സാധ്യമെങ്കിൽ, ആദ്യം ഭിന്നസംഖ്യയെ ലഘൂകരിക്കുന്നത് കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പമാക്കും.