ക്ലോക്കിലെ കോണളവ് – എളുപ്പവഴി
സൂത്രവാക്യം
ക്ലോക്കിലെ മണിക്കൂർ സൂചിയും (H) മിനിറ്റ് സൂചിയും (M) തമ്മിലുള്ള കോണളവ് കണ്ടെത്താനുള്ള സൂത്രവാക്യം:
കോണളവ് = | (60H – 11M) / 2 |
പ്രധാന നിയമം
- സാധാരണയായി സൂചികൾക്കിടയിലെ ചെറിയ കോണാണ് ചോദ്യങ്ങളിൽ ചോദിക്കുന്നത്
- സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കിട്ടുന്ന ഉത്തരം 180°-ൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, ആ ഉത്തരത്തെ 360°-ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കണം
- കിട്ടുന്ന ഉത്തരം 180°-ൽ കുറവാണെങ്കിൽ, അത് തന്നെയാണ് ശരിയായ ഉത്തരം
ഉദാഹരണങ്ങൾ
Question: ഒരു ക്ലോക്കിൽ സമയം 8.20 pm കാണിക്കുന്നു എങ്കിൽ മിനിറ്റ് സൂചിയും മണിക്കൂർ സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്ര? Answer: 130°
വിശദീകരണം:
- H = 8, M = 20
- കോണളവ് = | (60 × 8 – 11 × 20) / 2 |
- = | (480 – 220) / 2 | = | 260 / 2 | = 130°
Question: ഒരു ക്ലോക്കിൽ സമയം 10.10 ആകുമ്പോൾ മണിക്കൂർ സൂചിയും മിനിറ്റ് സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്ര? Answer: 115°
വിശദീകരണം:
- H = 10, M = 10
- കോണളവ് = | (60 × 10 – 11 × 10) / 2 | = | 490 / 2 | = 245°
- ഇവിടെ ഉത്തരം 180°-ൽ കൂടുതലാണ്
- യഥാർത്ഥ കോണളവ് = 360° – 245° = 115°
മീഡിയൻ (മധ്യമം) കണ്ടെത്തൽ
ആശയം
ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ മീഡിയൻ അല്ലെങ്കിൽ മധ്യമം എന്നാൽ, ആ സംഖ്യകളെ ക്രമമായി എഴുതുമ്പോൾ കൃത്യം നടുക്ക് വരുന്ന സംഖ്യയാണ്.
നിയമങ്ങൾ
- സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം (n) ഒറ്റസംഖ്യ ആണെങ്കിൽ: നടുവിലത്തെ ഒരൊറ്റ സംഖ്യ
- സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം (n) ഇരട്ടസംഖ്യ ആണെങ്കിൽ: നടുവിലത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി
വിശദമായ രീതി
Question: SSLC പരീക്ഷയിൽ 11 കുട്ടികളുടെ മാർക്കുകൾ 38, 30, 25, 20, 24, 33, 27, 36, 32, 28, 24 ആയാൽ മാർക്കുകളുടെ മീഡിയൻ എത്ര? A. 27 B. 30 C. 28 D. 24 Answer: C. 28
വിശദീകരണം:
- ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ എഴുതുക: 20, 24, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 36, 38
- എണ്ണം കണ്ടെത്തുക: n = 11 (ഒറ്റസംഖ്യ)
- നടുവിലത്തെ സ്ഥാനം: (n + 1) / 2 = (11 + 1) / 2 = 6
- മീഡിയൻ: ആറാമത്തെ സംഖ്യ = 28
എളുപ്പവഴി
- ഒറ്റസംഖ്യ എണ്ണം: കൃത്യം നടുക്കുള്ള സംഖ്യ
- ഇരട്ടസംഖ്യ എണ്ണം: നടുക്കുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകൾ കൂട്ടി പകുതിയാക്കുക
BODMAS നിയമം
ആശയം
ഒരു ഗണിതവാക്യത്തിൽ വിവിധ ക്രിയകൾ ഒരുമിച്ച് വരുമ്പോൾ ഏത് ക്രിയയാണ് ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടതെന്ന് തീരുമാനിക്കുന്ന നിയമം.
BODMAS ക്രമം
- B – Bracket (ബ്രാക്കറ്റ്)
- O – Of (ഓഫ് / കൃത്യങ്കം)
- D – Division (ഹരണം)
- M – Multiplication (ഗുണനം)
- A – Addition (സങ്കലനം)
- S – Subtraction (വ്യവകലനം)
ഉദാഹരണം
Question: 12 + (17−12) × 3 + 72 ÷ 8 = ? A. 52 B. 60 C. 36 D. 40 Answer: C. 36
വിശദീകരണം:
- ബ്രാക്കറ്റ്: (17 – 12) = 5 → 12 + 5 × 3 + 72 ÷ 8
- ഹരണം: 72 ÷ 8 = 9 → 12 + 5 × 3 + 9
- ഗുണനം: 5 × 3 = 15 → 12 + 15 + 9
- സങ്കലനം: 12 + 15 = 27 → 27 + 9 = 36
ചിഹ്നങ്ങൾ മാറ്റി ക്രിയ ചെയ്യൽ
രീതി
- ചിഹ്നങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ: അക്ഷരങ്ങൾക്ക് പകരം ശരിയായ ഗണിത ചിഹ്നങ്ങൾ നൽകുക
- BODMAS നിയമം പ്രയോഗിക്കൽ: പുതിയ വാക്യത്തിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടെത്തുക
ഉദാഹരണം
Question: ‘A’ എന്നത് + നെയും, ‘B’ എന്നത് – നെയും, ‘C’ എന്നത് ÷ നെയും, ‘D’ എന്നത് × നെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എന്നാൽ ’18 A 12 C 6 D 2 B 5′ എത്ര സൂചിപ്പിക്കുന്നു? A. 14 B. 17 C. 15 D. 20 Answer: B. 17
വിശദീകരണം:
- ചിഹ്നങ്ങൾ മാറ്റുക: 18 + 12 ÷ 6 × 2 – 5
- BODMAS പ്രയോഗിക്കുക:
- ഹരണം: 12 ÷ 6 = 2 → 18 + 2 × 2 – 5
- ഗുണനം: 2 × 2 = 4 → 18 + 4 – 5
- സങ്കലനം: 18 + 4 = 22 → 22 – 5
- വ്യവകലനം: 22 – 5 = 17
കൂട്ടത്തിൽ ചേരാത്തത് കണ്ടെത്തൽ
ആശയം
നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളിൽ ഒരു പൊതുവായ സ്വഭാവം ഉണ്ടായിരിക്കും. ആ നിയമം പാലിക്കാത്ത അംഗത്തെ തിരിച്ചറിയുക.
പൊതുവായ നിയമങ്ങൾ
- അഭാജ്യ സംഖ്യ / ഭാജ്യ സംഖ്യ
- ഇരട്ട സംഖ്യ / ഒറ്റ സംഖ്യ
- പൂർണ്ണ വർഗ്ഗങ്ങൾ / ഘനമൂലങ്ങൾ
- ഗുണിതങ്ങൾ
ഉദാഹരണം
Question: കൂട്ടത്തിൽ ചേരാത്തത് ഏത്? 3, 5, 7, 11, 13, 17, 21 A. 7 B. 11 C. 21 D. 17 Answer: C. 21
വിശദീകരണം:
- 21 ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളും അഭാജ്യ സംഖ്യകളാണ്
- 21 = 3 × 7 (ഭാജ്യ സംഖ്യ)
മാധ്യം (Mean/Average) കണ്ടെത്തൽ
ആശയം
മാധ്യം = (സംഖ്യകളുടെ ആകെ തുക) / (സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം)
ഉദാഹരണം
Question: 6-ന്റെ ആദ്യ ആറ് ഗുണിതങ്ങളുടെ മാധ്യം എത്ര? A. 12 B. 18 C. 21 D. 24 Answer: C. 21
വിശദീകരണം:
- ഗുണിതങ്ങൾ: 6, 12, 18, 24, 30, 36
- ആകെ തുക: 6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 = 126
- മാധ്യം: 126 / 6 = 21
എളുപ്പവഴി (സമാന്തര ശ്രേണിക്ക്)
മാധ്യം = (ആദ്യ പദം + അവസാന പദം) / 2 = (6 + 36) / 2 = 21
ശരാശരിയിലെ മാറ്റങ്ങൾ
മുഖ്യ സൂത്രവാക്യം
തുക = ശരാശരി × എണ്ണം
ഉദാഹരണം
Question: 11 സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി 66 ആണ്. ഒരു സംഖ്യ കൂടി ചേർത്തപ്പോൾ ശരാശരി 72 ആയി. ചേർത്ത സംഖ്യ ഏത്? A. 138 B. 128 C. 130 D. 100 Answer: A. 138
വിശദീകരണം:
- പഴയ തുക: 11 × 66 = 726
- പുതിയ തുക: 12 × 72 = 864
- ചേർത്ത സംഖ്യ: 864 – 726 = 138
എളുപ്പവഴി
- ശരാശരിയിലെ വർദ്ധനവ് = 72 – 66 = 6
- പഴയ സംഖ്യകൾക്കുണ്ടായ വർദ്ധനവ് = 11 × 6 = 66
- ചേർത്ത സംഖ്യ = 72 + 66 = 138
ശ്രേണി പൂരിപ്പിക്കൽ
ആശയം
ഒരു പ്രത്യേക നിയമം അനുസരിച്ച് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിൽ വിട്ടുപോയ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക.
ഉദാഹരണം
Question: വിട്ടുപോയ സംഖ്യ പൂരിപ്പിക്കുക: 1, 3, 5, 7, 9, __ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 Answer: B. 11
വിശദീകരണം:
- തുടർച്ചയായ ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി
- 9-ന് ശേഷം വരുന്ന ഒറ്റസംഖ്യ = 11
ദിശയും ദൂരവും
ആശയം
90° തിരിവുകൾ വരുമ്പോൾ മട്ടത്രികോണം രൂപപ്പെടുന്നു. പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ദൂരം കണ്ടെത്താം.
സൂത്രവാക്യം
കർണ്ണം² = പാദം² + ലംബം²
ഉദാഹരണം
Question: ഒരാൾ നേരെ കിഴക്കോട്ട് 5 കി.മീറ്റർ സഞ്ചരിച്ച ശേഷം വലത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞ് 3 കി.മീറ്റർ സഞ്ചരിച്ചു. ഇപ്പോൾ പുറപ്പെട്ട സ്ഥലത്തു നിന്നും എത്ര ദൂരെയാണ്? A. √34 B. 8 C. 30 D. 34 Answer: A. √34
വിശദീകരണം:
- കിഴക്കോട്ട് → വലത്തോട്ട് = തെക്കോട്ട്
- ദൂരം = √(5² + 3²) = √(25 + 9) = √34
കലണ്ടർ – ദിവസങ്ങൾ കണ്ടെത്തൽ
ആശയം
അധിക ദിവസങ്ങൾ (Odd Days) = ആകെ ദിവസങ്ങൾ ÷ 7 ന്റെ ശിഷ്ടം
അധിവർഷ നിയമം
- 4 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന വർഷം അധിവർഷം
- നൂറ്റാണ്ട് വർഷങ്ങൾ (00-ൽ അവസാനിക്കുന്നവ) 400 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ മാത്രം അധിവർഷം
ഉദാഹരണം
Question: 2000 ജനുവരി 1 ശനിയാഴ്ച ആയാൽ 2000 മാർച്ച് 3 ഏത് ദിവസമായിരിക്കും? A. വെള്ളി B. ശനി C. വ്യാഴം D. ബുധൻ Answer: A. വെള്ളി
വിശദീകരണം:
- ആകെ ദിവസങ്ങൾ: ജനുവരി (30) + ഫെബ്രുവരി (29) + മാർച്ച് (3) = 62
- അധിക ദിവസങ്ങൾ: 62 ÷ 7 = 8 ആഴ്ചകൾ + 6 ശിഷ്ടം
- അവസാന ദിവസം: ശനി + 6 ദിവസം = വെള്ളി
എളുപ്പവഴി
ഓരോ മാസത്തിന്റെയും അധിക ദിവസങ്ങൾ വേർതിരിച്ച് കൂട്ടുക:
- ജനുവരി ബാക്കി: 30 → 2 അധിക ദിവസം
- ഫെബ്രുവരി (അധിവർഷം): 29 → 1 അധിക ദിവസം
- മാർച്ച്: 3 → 3 അധിക ദിവസം
- ആകെ: 2 + 1 + 3 = 6 അധിക ദിവസങ്ങൾ