ചോദ്യം 71 – ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം (HCF)

ചോദ്യം: ഒരു മുറിയുടെ നീളവും വീതിയും യഥാക്രമം 10 മീ. 75 സെ.മീ.ഉം 8 മീ. 25 സെ.മീ.ഉം ആണ്. തറയിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ടൈലുകൾ പാകണം. ടൈലിന്റെ സാധ്യമായ ഏറ്റവും വലിയ വലിപ്പം കണ്ടെത്തുക.

A) 20 സെ.മീ. × 20 സെ.മീ.
B) 25 സെ.മീ. × 25 സെ.മീ.
C) 30 സെ.മീ. × 30 സെ.മീ.
D) 15 സെ.മീ. × 15 സെ.മീ.

ഉത്തരം: B) 25 സെ.മീ. × 25 സെ.മീ.

ആശയം

ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയം ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം (ഉ.സാ.ഘ.) അഥവാ Highest Common Factor (HCF) കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്.

എന്തുകൊണ്ട് ഉ.സാ.ഘ. ഉപയോഗിക്കുന്നു?

• ഒരു മുറിയുടെ തറയിൽ ഒട്ടും മുറിക്കാതെ, ഒരേ വലിപ്പത്തിലുള്ള സമചതുര ടൈലുകൾ പാകണമെങ്കിൽ, ആ ടൈലിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം മുറിയുടെ നീളത്തെയും വീതിയെയും പൂർണ്ണമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു സംഖ്യയായിരിക്കണം
• “സാധ്യമായ ഏറ്റവും വലിയ വലിപ്പം” എന്നാൽ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു ഘടകം അതായത് ഉ.സാ.ഘ. ആണ്

പരിഹാര രീതി

ഘട്ടം 1: യൂണിറ്റ് മാറ്റുക

• നീളം = 10 മീറ്റർ 75 സെ.മീ. = (10 × 100) + 75 = 1075 സെ.മീ.
• വീതി = 8 മീറ്റർ 25 സെ.മീ. = (8 × 100) + 25 = 825 സെ.മീ.

ഘട്ടം 2: ഉ.സാ.ഘ. (HCF) കണ്ടെത്തുക

രീതി 1: ഹരണക്രിയ (Division Method)

• 1075 ÷ 825 = ശിഷ്ടം 250
• 825 ÷ 250 = ശിഷ്ടം 75
• 250 ÷ 75 = ശിഷ്ടം 25
• 75 ÷ 25 = ശിഷ്ടം 0

ഉ.സാ.ഘ. = 25

രീതി 2: ഓപ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുക

• 25 സെ.മീ.: 1075 ÷ 25 = 43, 825 ÷ 25 = 33 (പൂർണ്ണമായി ഹരിക്കാം)

മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങൾ

ചോദ്യം: 75 ലിറ്റർ, 45 ലിറ്റർ എന്നിങ്ങനെ അളവുകളുള്ള രണ്ട് പാത്രങ്ങളിലെ പാൽ പൂർണ്ണമായും അളക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും വലിയ അളവ് പാത്രത്തിന്റെ വ്യാപ്തി എത്ര?

A) 5 ലിറ്റർ B) 10 ലിറ്റർ C) 15 ലിറ്റർ D) 25 ലിറ്റർ

ഉത്തരം: C) 15 ലിറ്റർ

---

ചോദ്യം 72 – ഗുണന എളുപ്പവഴികൾ

ചോദ്യം: 9808 × 625 = ?

A) 6.13 × 10⁵
B) 613 × 10⁵
C) 61.3 × 10⁵
D) ഇവയൊന്നുമല്ല

ഉത്തരം: C) 61.3 × 10⁵

ആശയം

രണ്ട് പ്രധാന ആശയങ്ങൾ:

1. ഗുണനത്തിലെ എളുപ്പവഴികൾ – വലിയ സംഖ്യകളെ എളുപ്പത്തിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യാവുന്ന രൂപത്തിലാക്കുക
2. ശാസ്ത്രീയ രൂപം (Scientific Notation) – 10-ന്റെ ഘാതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുന്ന രീതി

പരിഹാര രീതി

സൂത്രം: 625 = 10000 / 16

ഘട്ടം 1: 9808 × 625 = 9808 × (10000 / 16)

ഘട്ടം 2: = (9808 / 16) × 10000

ഘട്ടം 3: 9808 ÷ 16 = 613

ഘട്ടം 4: 613 × 10000 = 61,30,000

ഘട്ടം 5: 61,30,000 = 61.3 × 10⁵

മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങൾ

ചോദ്യം: 448 × 25 ന്റെ വിലയെന്ത്? സൂത്രം: 25 = 100 / 4 ഉത്തരം: 448 ÷ 4 × 100 = 112 × 100 = 11200

---

ചോദ്യം 73 – പ്രവൃത്തിയും സമയവും

ചോദ്യം: A, B എന്നീ പൈപ്പുകൾ യഥാക്രമം 12 മണിക്കൂറും 15 മണിക്കൂറും കൊണ്ട് ഒരു ടാങ്ക് നിറയ്ക്കും. രണ്ട് പൈപ്പുകളും ഒരുമിച്ചു തുറന്നാൽ എത്ര മണിക്കൂർ കൊണ്ട് ടാങ്ക് നിറയും?

A) 6 മണിക്കൂർ 40 മിനിറ്റ്
B) 5 മണിക്കൂർ 30 മിനിറ്റ്
C) 4 മണിക്കൂർ 35 മിനിറ്റ്
D) 4 മണിക്കൂർ 20 മിനിറ്റ്

ഉത്തരം: A) 6 മണിക്കൂർ 40 മിനിറ്റ്

ആശയം

പ്രവൃത്തിയുടെ നിരക്ക് (Rate of Work) – ഒരു പൈപ്പ് x മണിക്കൂർ കൊണ്ട് ടാങ്ക് നിറയ്ക്കുമെങ്കിൽ, ഒരു മണിക്കൂറിൽ 1/x ഭാഗം നിറയ്ക്കും.

പരിഹാര രീതി

രീതി 1: ഫോർമുല (XY / X+Y) സമയം = (12 × 15) / (12 + 15) = 180 / 27 = 20/3 മണിക്കൂർ = 6 മണിക്കൂർ 40 മിനിറ്റ്

രീതി 2: ല.സാ.ഗു. രീതി

1. ടാങ്കിന്റെ വ്യാപ്തി = LCM(12, 15) = 60 യൂണിറ്റ്
2. A-യുടെ കാര്യക്ഷമത = 60/12 = 5 യൂണിറ്റ്/മണിക്കൂർ
3. B-യുടെ കാര്യക്ഷമത = 60/15 = 4 യൂണിറ്റ്/മണിക്കൂർ
4. ഒരുമിച്ചുള്ള കാര്യക്ഷമത = 5 + 4 = 9 യൂണിറ്റ്/മണിക്കൂർ
5. സമയം = 60/9 = 20/3 മണിക്കൂർ

മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങൾ

ചോദ്യം: ഒരു ടാങ്ക് 10 മണിക്കൂർ കൊണ്ട് നിറയും. അടിയിലുള്ള പൈപ്പ് 15 മണിക്കൂർ കൊണ്ട് ഒഴുകിപ്പോകും. രണ്ടും ഒരുമിച്ച് തുറന്നാൽ?

ഉത്തരം: നിറയ്ക്കുന്ന നിരക്ക് +3, ഒഴിയുന്ന നിരക്ക് -2, ആകെ +1 യൂണിറ്റ്/മണിക്കൂർ സമയം = 30/1 = 30 മണിക്കൂർ

---

ചോദ്യം 74 – കൃത്യങ്ക നിയമങ്ങൾ

ചോദ്യം: (x/y)¹² · y²⁴ · (z³)⁴ = ?

A) (xyz)⁶
B) (xyz)⁸
C) (xyz)¹²
D) (xyz)²⁴

ഉത്തരം: C) (xyz)¹²

ആശയം

കൃത്യങ്ക നിയമങ്ങൾ (Laws of Exponents):

1. (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
2. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
3. aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
4. aⁿ · bⁿ · cⁿ = (abc)ⁿ

പരിഹാര രീതി

ഘട്ടം 1: (x/y)¹² = x¹² / y¹²

ഘട്ടം 2: (z³)⁴ = z¹²

ഘട്ടം 3: (x¹² / y¹²) · y²⁴ · z¹²

ഘട്ടം 4: y²⁴ / y¹² = y¹²

ഘട്ടം 5: x¹² · y¹² · z¹² = (xyz)¹²

മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങൾ

ചോദ്യം: (5⁴)² ÷ 5⁶ ന്റെ വിലയെന്ത്? ഉത്തരം: 5⁸ ÷ 5⁶ = 5² = 25

---

ചോദ്യം 75 – സമാന്തര ശ്രേണി

ചോദ്യം: രഘു ഒരു ബാങ്കിൽ നിന്നും വായ്പ എടുത്തു. ആദ്യ ഗഡുവായി രഘു 1000 രൂപ തിരിച്ച് അടച്ചു. ഓരോ മാസവും ഗഡു 150 രൂപ വീതം വർദ്ധിപ്പിച്ചാൽ 30-ആമത്തെ ഗഡുവായി രഘു തിരിച്ച് അടയ്ക്കുന്ന തുക എത്രയാണ്?

A) 4450
B) 4750
C) 5250
D) 5350

ഉത്തരം: D) 5350

ആശയം

സമാന്തര ശ്രേണി (Arithmetic Progression) – ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയിൽ തുടങ്ങി, ഒരേ സംഖ്യ തുടർച്ചയായി കൂട്ടി എഴുതുന്ന ശ്രേണി

സൂത്രവാക്യം: tₙ = a + (n – 1)d

പരിഹാര രീതി

വിലകൾ:

• ആദ്യ പദം (a) = 1000
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 150
• n = 30

കണക്കുകൂട്ടൽ: t₃₀ = 1000 + (30 – 1) × 150 = 1000 + 29 × 150 = 1000 + 4350 = 5350

മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങൾ

ചോദ്യം: 5, 9, 13, … എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 20-ആം പദം ഏത്? ഉത്തരം: a = 5, d = 4, n = 20 t₂₀ = 5 + (20-1) × 4 = 5 + 76 = 81

---

ചോദ്യം 76 – ക്ലോക്ക് പ്രശ്നങ്ങൾ

ചോദ്യം: ഒരു ദിവസം എത്ര തവണ ഒരു ക്ലോക്കിലെ സൂചികൾ പരസ്പരം ലംബ കോണിലായിരിക്കും?

A) 12
B) 24
C) 44
D) 48

ഉത്തരം: C) 44

ആശയം

ലംബ കോൺ (Right Angle) – മണിക്കൂർ സൂചിയും മിനിറ്റ് സൂചിയും തമ്മിൽ 90 ഡിഗ്രി കോണളവ്

കണക്കുകൂട്ടൽ

• ഒരു മണിക്കൂറിൽ സാധാരണയായി 2 തവണ ലംബ കോൺ
• 12 മണിക്കൂറിൽ 24 തവണ
• എന്നാൽ 3 മണിക്കും 9 മണിക്കും ഇടയിൽ 2 തവണ കുറയുന്നു
• 12 മണിക്കൂറിൽ = 24 – 2 = 22 തവണ
• 24 മണിക്കൂറിൽ = 22 × 2 = 44 തവണ

ക്ലോക്ക് പട്ടിക

സൂചികളുടെ സ്ഥാനം	12 മണിക്കൂറിൽ	24 മണിക്കൂറിൽ
ഒന്നിക്കുന്നത് (0°)	11 തവണ	22 തവണ
നേർരേഖയിൽ (180°)	11 തവണ	22 തവണ
ലംബമായി (90°)	22 തവണ	44 തവണ

---

ചോദ്യം 77 – അക്ഷര ശ്രേണി

ചോദ്യം: WFB, TGD, QHG, ______

A) NIK
B) NIJ
C) OIK
D) OIJ

ഉത്തരം: A) NIK

ആശയം

അക്ഷര ശ്രേണി (Letter Series) – മൂന്ന് അക്ഷരങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ ശ്രേണി. ഓരോ സ്ഥാനത്തുള്ള അക്ഷരങ്ങളെ വെവ്വേറെ ശ്രേണികളായി പരിഗണിക്കുക.

പരിഹാര രീതി

ഒന്നാമത്തെ അക്ഷരങ്ങൾ: W, T, Q, …

• W = 23, T = 20, Q = 17
• പാറ്റേൺ: -3
• അടുത്തത്: 17 – 3 = 14 = N

രണ്ടാമത്തെ അക്ഷരങ്ങൾ: F, G, H, …

• F = 6, G = 7, H = 8
• പാറ്റേൺ: +1
• അടുത്തത്: 8 + 1 = 9 = I

മൂന്നാമത്തെ അക്ഷരങ്ങൾ: B, D, G, …

• B = 2, D = 4, G = 7
• വ്യത്യാസം: +2, +3
• അടുത്ത വ്യത്യാസം: +4
• അടുത്തത്: 7 + 4 = 11 = K

ഉത്തരം: NIK

---

ചോദ്യം 78 – സംഖ്യാശ്രേണി

ചോദ്യം: 5, 16, 51, 158, ______

A) 452
B) 481
C) 470
D) 485

ഉത്തരം: B) 481

ആശയം

മിശ്ര ശ്രേണി (Mixed Series) – ഗുണനവും സങ്കലനവും ഒരുമിച്ച് ഉപയോഗിക്കുന്ന ശ്രേണി

പാറ്റേൺ കണ്ടെത്തൽ

ഗുണന ബന്ധം: ഓരോ സംഖ്യയും ഏകദേശം 3 മടങ്ങ്

കൃത്യമായ പാറ്റേൺ:

• (5 × 3) + 1 = 15 + 1 = 16
• (16 × 3) + 3 = 48 + 3 = 51
• (51 × 3) + 5 = 153 + 5 = 158

കൂട്ടുന്ന സംഖ്യകൾ: 1, 3, 5, … (ഒറ്റസംഖ്യകൾ) അടുത്തത്: 7

അടുത്ത പദം: (158 × 3) + 7 = 474 + 7 = 481

---

ചോദ്യം 79 – ഒറ്റയാനെ കണ്ടെത്തൽ

ചോദ്യം: ഒറ്റയാനെ കണ്ടെത്തുക:

A) SORE
B) SOTLU
C) MEJNIAS
D) NORGAE

ഉത്തരം: D) NORGAE

ആശയം

Jumbled Words (ക്രമം തെറ്റിച്ച വാക്കുകൾ) – അക്ഷരങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിച്ച് അർത്ഥവത്തായ വാക്കുകൾ കണ്ടെത്തുക

പുനഃക്രമീകരണം

• SORE → ROSE (റോസാപ്പൂവ് – പൂവ്)
• SOTLU → LOTUS (താമര – പൂവ്)
• MEJNIAS → JASMINE (മുല്ലപ്പൂവ് – പൂവ്)
• NORGAE → ORANGE (ഓറഞ്ച് – പഴം)

പൊതുവായ ബന്ധം: ആദ്യത്തെ മൂന്നെണ്ണം പൂക്കൾ ഒറ്റയാൻ: ORANGE (പഴം)

---

ചോദ്യം 80 – കലണ്ടർ കണക്കുകൂട്ടൽ

ചോദ്യം: 16/04/2020 തുടങ്ങി 9 മാസവും 5 ദിവസവും പൂർത്തിയാകുന്ന തീയതി:

A) 16/01/2021
B) 16/12/2020
C) 22/01/2021
D) 20/01/2021

ഉത്തരം: D) 20/01/2021

ആശയം

കാലയളവ് പൂർത്തിയാകുക (Completion of Period) – ഒരു തീയതിയിൽ നിന്ന് ഒരു മാസത്തെ കാലയളവ് പൂർത്തിയാകുന്നത് അടുത്ത മാസം അതേ തീയതിയുടെ തലേന്നാണ്

പരിഹാര രീതി

ഘട്ടം 1: 9 മാസത്തെ കാലയളവ്

• 16/04/2020 + 9 മാസം = 16/01/2021
• 9 മാസം പൂർത്തിയാകുന്നത്: 15/01/2021

ഘട്ടം 2: 5 ദിവസം കൂട്ടുക

• 16/01/2021 മുതൽ 5 ദിവസം:
  1. ജനുവരി 16 (1-ാം ദിവസം)
  2. ജനുവരി 17 (2-ാം ദിവസം)
  3. ജനുവരി 18 (3-ാം ദിവസം)
  4. ജനുവരി 19 (4-ാം ദിവസം)
  5. ജനുവരി 20 (5-ാം ദിവസം)

അന്തിമ തീയതി: 20/01/2021

മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങൾ

ചോദ്യം: 2023 മാർച്ച് 10-ന് ജോലിക്ക് പ്രവേശിച്ചു. 6 മാസത്തെ പരിശീലന കാലയളവ് പൂർത്തിയാകുന്ന തീയതി? ഉത്തരം: 6 മാസം പൂർത്തിയാകുന്നത് സെപ്റ്റംബർ 9, 2023

---

പ്രധാന സൂത്രങ്ങൾ

ഉ.സാ.ഘ. & ല.സാ.ഗു.

• ഉ.സാ.ഘ.: ഏറ്റവും വലിയ പൊതു ഘടകം
• ല.സാ.ഗു.: ഏറ്റവും ചെറിയ പൊതു ഗുണിതം

പ്രവൃത്തിയും സമയവും

• രണ്ട് പേർ ഒരുമിച്ച് സമയം = (X × Y) / (X + Y)
• പ്രവൃത്തിയുടെ നിരക്ക് = 1/സമയം

കൃത്യങ്ക നിയമങ്ങൾ

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
• (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

സമാന्तर ശ്രേണി

• n-ാം പദം: tₙ = a + (n-1)d
• ആകെത്തുക: Sₙ = n/2[2a + (n-1)d]

ക്ലോക്ക് സൂത്രങ്ങൾ

• 24 മണിക്കൂറിൽ സൂചികൾ ഒന്നിക്കുന്നത്: 22 തവണ
• 24 മണിക്കൂറിൽ സൂചികൾ ലംബമാകുന്നത്: 44 തവണ
• 24 മണിക്കൂറിൽ സൂചികൾ നേർരേഖയിൽ വരുന്നത്: 44 തവണ

എളുപ്പവഴി ഗുണന സൂത്രങ്ങൾ

• 25 = 100/4
• 125 = 1000/8
• 625 = 10000/16

അക്ഷരമാല സ്ഥാനങ്ങൾ

A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9, J=10, K=11, L=12, M=13, N=14, O=15, P=16, Q=17, R=18, S=19, T=20, U=21, V=22, W=23, X=24, Y=25, Z=26

പരീക്ഷാ ടിപ്പുകൾ

HCF പ്രശ്നങ്ങൾക്ക്

1. യൂണിറ്റ് ഒരുപോലെ മാറ്റുക
2. ഹരണ രീതി ഉപയോഗിക്കുക
3. ഓപ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് പരിശോധിക്കുക

Time & Work പ്രശ്നങ്ങൾക്ക്

1. (X × Y)/(X + Y) ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക
2. LCM രീതി സങ്കീർണ്ണമായ ചോദ്യങ്ങൾക്ക്
3. നിറയ്ക്കുന്ന പൈപ്പ് (+), ഒഴിയുന്ന പൈപ്പ് (-) എന്ന് കണക്കാക്കുക

ഗുണന എളുപ്പവഴികൾക്ക്

1. 25, 125, 625 എന്നിവയുടെ സൂത്രങ്ങൾ ഓർക്കുക
2. വലിയ സംഖ്യകളെ ചെറിയ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക
3. ശാസ്ത്രീയ രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റുക

സമാന്തര ശ്രേണിക്ക്

1. a, d, n എന്നിവ കണ്ടെത്തുക
2. tₙ = a + (n-1)d സൂത്രം പ്രയോഗിക്കുക
3. കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പത്തിന് വിഭജിച്ച് ചെയ്യുക

ക്ലോക്ക് പ്രശ്നങ്ങൾക്ക്

1. പട്ടിക ഓർത്തുവെക്കുക
2. പ്രത്യേക സാഹചര്യങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുക
3. 12 മണിക്കൂർ × 2 = 24 മണിക്കൂർ

അക്ഷര ശ്രേണിക്ക്

1. ഓരോ സ്ഥാനത്തെ അക്ഷരങ്ങൾ വെവ്വേറെ പരിശോധിക്കുക
2. അക്ഷരമാലയിലെ സ്ഥാനം കണക്കാക്കുക
3. പാറ്റേൺ കണ്ടെത്തുക

സംഖ്യാശ്രേണിക്ക്

1. വ്യത്യാസം പരിശോധിക്കുക
2. ഗുണന ബന്ധം നോക്കുക
3. മിശ്ര പാറ്റേൺ കണ്ടെത്തുക

Jumbled Words-ന്

1. ആദ്യത്തെ രണ്ട് വാക്കുകൾ പുനഃക്രമീകരിച്ച് തീം കണ്ടെത്തുക
2. പരിചിതമായ അക്ഷരക്കൂട്ടങ്ങൾ തിരയുക
3. പൊതുവായ ബന്ധം കണ്ടെത്തുക

കലണ്ടർ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക്

1. മാസം ആദ്യം കണക്കാക്കുക
2. കാലയളവ് പൂർത്തിയാകുന്ന ദിവസം കണ്ടെത്തുക
3. ബാക്കി ദിവസങ്ങൾ കൂട്ടുക

ഓർമ്മിപ്പിക്കൽ

പ്രധാന കാര്യങ്ങൾ

• എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ശ്രദ്ധയോടെ ചെയ്യുക
• യൂണിറ്റ് പരിവർത്തനത്തിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക
• ഓപ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം പരിശോധിക്കുക
• സമയം ലാഭിക്കാൻ എളുപ്പവഴികൾ ഉപയോഗിക്കുക

സാധാരണ തെറ്റുകൾ

• യൂണിറ്റ് മാറ്റാതെ കണക്കുകൂട്ടുക
• കാലയളവ് പൂർത്തിയാകുന്നതും എത്തുന്നതും തമ്മിൽ കൂട്ടിക്കുഴയ്ക്കുക
• ക്ലോക്ക് പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യേക സാഹചര്യങ്ങൾ മറക്കുക
• HCF-LCM തമ്മിൽ കൂട്ടിക്കുഴയ്ക്കുക

Kerala PSC-യിൽ വിജയത്തിന് എല്ലാ ആശംസകളും!