സമചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണം

അടിസ്ഥാന ഫോർമുല

ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വശം ‘a’ ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വികർണ്ണം a√2 ആയിരിക്കും.

സിദ്ധാന്തം

ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണം അതിനെ രണ്ട് മട്ടത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്:

കർണ്ണം² = പാദം² + ലംബം²

സമചതുരത്തിൽ പാദവും ലംബവും തുല്യമായതിനാൽ (രണ്ടും വശത്തിന്റെ നീളമാണ്):

വികർണ്ണം² = a² + a² = 2a²

വികർണ്ണം = √(2a²) = a√2

ചോദ്യം 81: ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം 3 cm ആണ്. അതിന്റെ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം എത്ര?

A) 3√2
B) 3
C) 3√3
D) 6

ഉത്തരം: A) 3√2

വിശദീകരണം: വശം = 3 cm, അതുകൊണ്ട് വികർണ്ണം = 3√2 cm

---

പരിശീലന ചോദ്യം 1: ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം 5 cm ആണ്. അതിന്റെ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം എത്ര?

A) 5√2
B) 10
C) 5
D) 25

ഉത്തരം: A) 5√2

വിശദീകരണം: വികർണ്ണം = 5√2 cm (ഫോർമുല പ്രയോഗിച്ച്)

---

പരിശീലന ചോദ്യം 2: ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 7√2 cm ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം എത്ര?

A) 7
B) 14
C) 7√2
D) 49

ഉത്തരം: A) 7

വിശദീകരണം: വികർണ്ണം d ആണെങ്കിൽ, വശം = d/√2. അതുകൊണ്ട് വശം = (7√2)/√2 = 7 cm

---

കേവല മൂല്യ സമവാക്യങ്ങൾ

അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം

|x – a| = |x – b| എന്ന രൂപത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തിൽ, x എന്നത് ‘a’ യുടെയും ‘b’ യുടെയും കൃത്യം മധ്യത്തിലായിരിക്കും.

ഫോർമുല: x = (a + b)/2

വിശദമായ പരിഹാര രീതി

രീതി 1 – മധ്യബിന്ദു രീതി (എളുപ്പവഴി):

നേരിട്ട് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക: x = (a + b)/2

രീതി 2 – വർഗ്ഗം എടുത്ത് പരിഹരിക്കൽ:

1. ഇരുവശത്തും വർഗ്ഗം എടുക്കുക
2. x² പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കുക
3. സമവാക്യം ലളിതവത്കരിച്ച് x കണ്ടെത്തുക

ചോദ്യം 82: |x – 1| = |x – 3| ആയാൽ x എത്ര?

A) 1
B) 3
C) 2
D) 4

ഉത്തരം: C) 2

വിശദീകരണം:

എളുപ്പവഴി: x = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2

വിശദമായ രീതി:

• (x – 1)² = (x – 3)²
• x² – 2x + 1 = x² – 6x + 9
• -2x + 1 = -6x + 9
• 4x = 8
• x = 2

---

പരിശീലന ചോദ്യം 1: |x – 2| = |x – 6| ആയാൽ x എത്ര?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

ഉത്തരം: C) 4

വിശദീകരണം: x = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4

---

പരിശീലന ചോദ്യം 2: |x + 5| = |x – 1| ആയാൽ x എത്ര?

A) -5
B) -3
C) 1
D) 5

ഉത്തരം: B) -2 (ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷനുകളിൽ ഇല്ല)

വിശദീകരണം: |x + 5| = |x – (-5)| ആയി എഴുതാം. അതുകൊണ്ട് x = (-5 + 1)/2 = -4/2 = -2

---

സംഖ്യാശ്രേണികൾ

അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ (Prime Numbers)

നിർവചനം: 1-ലും തന്നെയുമല്ലാതെ മറ്റ് സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളാണ് അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ.

ആദ്യത്തെ അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…

ചോദ്യം 83: 2, 3, 5, … എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്ന ശ്രേണിയുടെ അടുത്ത പദം ഏത്?

A) 6
B) 8
C) 9
D) 7

ഉത്തരം: D) 7

വിശദീകരണം: ഇത് അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ്. നാലാമത്തെ അഭാജ്യ സംഖ്യ 7 ആണ്.

---

പരിശീലന ചോദ്യം 1: 2, 4, 6, … എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്ന ശ്രേണിയുടെ അടുത്ത പദം ഏത്?

A) 7
B) 8
C) 9
D) 10

ഉത്തരം: B) 8

വിശദീകരണം: ഇത് ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ്. അടുത്ത ഇരട്ട സംഖ്യ 8 ആണ്.

---

പരിശീലന ചോദ്യം 2: 1, 4, 9, … എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്ന ശ്രേണിയുടെ അടുത്ത പദം ഏത്?

A) 10
B) 12
C) 15
D) 16

ഉത്തരം: D) 16

വിശദീകരണം: ഇത് പൂർണ്ണ വർഗ്ഗ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ് (1², 2², 3²). അടുത്തത് 4² = 16 ആണ്.

---

ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവും വശങ്ങളുടെ തുകയും

പ്രധാന ഫോർമുലകൾ

ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്: 2(നീളം + വീതി) = 2(l + b)

ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്: നീളം × വീതി = l × b

വശങ്ങളുടെ തുക: നീളം + വീതി = ചുറ്റളവ് ÷ 2

ചോദ്യം 84: ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 80 cm ഉം പരപ്പളവ് 384 ച.സെ.മീ. ഉം ആയാൽ വശങ്ങളുടെ തുക എത്ര?

A) 40 cm
B) 100 cm
C) 120 cm
D) ഇവയൊന്നുമല്ല

ഉത്തരം: A) 40 cm

വിശദീകരണം: വശങ്ങളുടെ തുക = 80 ÷ 2 = 40 cm. പരപ്പളവ് ഇവിടെ അധിക വിവരം മാത്രമാണ്.

---

പരിശീലന ചോദ്യം 1: ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 60 cm ഉം പരപ്പളവ് 200 ച.സെ.മീ. ഉം ആയാൽ വശങ്ങളുടെ തുക എത്ര?

A) 30 cm
B) 100 cm
C) 120 cm
D) ഇവയൊന്നുമല്ല

ഉത്തരം: A) 30 cm

വിശദീകരണം: വശങ്ങളുടെ തുക = 60 ÷ 2 = 30 cm

---

പരിശീലന ചോദ്യം 2: ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 48 cm ഉം പരപ്പളവ് 144 ച.സെ.മീ. ഉം ആയാൽ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം എത്ര?

A) 12 cm
B) 24 cm
C) 6 cm
D) ഇവയൊന്നുമല്ല

ഉത്തരം: A) 12 cm

വിശദീകരണം: സമചതുരത്തിന്റെ വശം = ചുറ്റളവ് ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12 cm

---

അനലോഗി – ബഹുഭുജങ്ങൾ

ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങൾ

ചോദ്യം 85: ചതുർഭുജം : 4 :: ഷഡ്ഭുജം : ?

A) 4
B) 3
C) 6
D) 5

ഉത്തരം: C) 6

വിശദീകരണം: ചതുർഭുജത്തിന് 4 വശങ്ങളുണ്ട്. ഷഡ്ഭുജത്തിന് 6 വശങ്ങളുണ്ട്.

---

പരിശീലന ചോദ്യം 1: ത്രിഭുജം : 3 :: പഞ്ചഭുജം : ?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

ഉത്തരം: C) 5

വിശദീകരണം: ത്രിഭുജത്തിന് 3 വശങ്ങളും പഞ്ചഭുജത്തിന് 5 വശങ്ങളുമുണ്ട്.

---

പരിശീലന ചോദ്യം 2: ഒക്ടഗൺ : 8 :: ഡെക്കാഗൺ : ?

A) 8
B) 9
C) 10
D) 11

ഉത്തരം: C) 10

വിശദീകരണം: ഒക്ടഗണിന് 8 വശങ്ങളും ഡെക്കാഗണിന് 10 വശങ്ങളുമുണ്ട്.

---

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ദശാംശരൂപം

ഭിന്നസംഖ്യ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ

രീതി:

1. പൊതുവായ ഛേദം (Common Denominator) കണ്ടെത്തുക
2. ഭിന്നസംഖ്യകൾ പൊതുവായ ഛേദത്തിലേക്ക് മാറ്റുക
3. അംശങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക
4. ലവം ÷ ഹരം ചെയ്ത് ദശാംശരൂപം കണ്ടെത്തുക

ചോദ്യം 86: 1/8 + 1/16 ദശാംശരൂപം എത്ര?

A) 0.8750
B) 1.875
C) 0.1875
D) 0.01875

ഉത്തരം: C) 0.1875

വിശദീകരണം:

• പൊതുവായ ഛേദം: 16
• 1/8 = 2/16
• 2/16 + 1/16 = 3/16
• 3 ÷ 16 = 0.1875

---

പരിശീലന ചോദ്യം 1: 1/4 + 1/8 ദശാംശരൂപം എത്ര?

A) 0.25
B) 0.375
C) 0.5
D) 0.125

ഉത്തരം: B) 0.375

വിശദീകരണം: 1/4 = 2/8, അതുകൊണ്ട് 2/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

---

പരിശീലന ചോദ്യം 2: 1/2 – 1/4 ദശാംശരൂപം എത്ര?

A) 0.75
B) 0.5
C) 0.25
D) 0.125

ഉത്തരം: C) 0.25

വിശദീകരണം: 1/2 = 2/4, അതുകൊണ്ട് 2/4 – 1/4 = 1/4 = 0.25

---

ബഹുപദങ്ങളും ഘടകസിദ്ധാന്തവും

ഘടകസിദ്ധാന്തം (Factor Theorem)

സിദ്ധാന്തം: ഒരു ബഹുപദം P(x) ആണെങ്കിൽ, (x – a) എന്നത് P(x)-ന്റെ ഒരു ഘടകമാകണമെങ്കിൽ P(a) = 0 ആയിരിക്കണം.

വിപര്യയം: P(a) = 0 ആണെങ്കിൽ, (x – a) എന്നത് P(x)-ന്റെ ഒരു ഘടകമാണ്.

ചോദ്യം 87: (x – 2) ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ ഘടകമാണ് എങ്കിൽ P(2) എത്ര?

A) 1
B) 0
C) -1
D) ഇവയൊന്നുമല്ല

ഉത്തരം: B) 0

വിശദീകരണം: ഘടകസിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, (x – 2) ഒരു ഘടകമായതുകൊണ്ട് P(2) = 0 ആയിരിക്കും.

---

പരിശീലന ചോദ്യം 1: (x + 1) ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ ഘടകമാണ് എങ്കിൽ P(-1) എത്ര?

A) 1
B) 0
C) -1
D) ഇവയൊന്നുമല്ല

ഉത്തരം: B) 0

വിശദീകരണം: (x + 1) = (x – (-1)), അതുകൊണ്ട് P(-1) = 0

---

പരിശീലന ചോദ്യം 2: P(x) = x² – 4 എന്ന ബഹുപദത്തിൽ (x – 2) ഒരു ഘടകമാണോ?

A) അതെ
B) അല്ല
C) പറയാൻ കഴിയില്ല
D) ഇവയൊന്നുമല്ല

ഉത്തരം: A) അതെ

വിശദീകരണം: P(2) = 2² – 4 = 4 – 4 = 0. അതുകൊണ്ട് (x – 2) ഒരു ഘടകമാണ്.

---

സമാന്തര ശ്രേണി (Arithmetic Progression)

ഒറ്റ സംഖ്യ പദങ്ങളുള്ള AP

സിദ്ധാന്തം: ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ ഒറ്റ സംഖ്യ പദങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, മധ്യപദം = പദങ്ങളുടെ തുക ÷ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം

ചോദ്യം 88: 5 പദങ്ങളുടെ തുക 145 ആയാൽ 3-ാം പദം എത്ര?

A) 29
B) 27
C) 31
D) 33

ഉത്തരം: A) 29

വിശദീകരണം: 5 പദങ്ങളിൽ മധ്യപദം 3-ാം പദമാണ്. മധ്യപദം = 145 ÷ 5 = 29

---

പരിശീലന ചോദ്യം 1: 7 പദങ്ങളുടെ തുക 217 ആയാൽ 4-ാം പദം എത്ര?

A) 30
B) 31
C) 32
D) 33

ഉത്തരം: B) 31

വിശദീകരണം: 7 പദങ്ങളിൽ മധ്യപദം 4-ാം പദമാണ്. മധ്യപദം = 217 ÷ 7 = 31

---

പരിശീലന ചോദ്യം 2: തുടർച്ചയായ 3 പദങ്ങളുടെ തുക 63 ആയാൽ, മധ്യപദം എത്ര?

A) 20
B) 21
C) 22
D) 23

ഉത്തരം: B) 21

വിശദീകരണം: 3 പദങ്ങളിൽ മധ്യപദം 2-ാം പദമാണ്. മധ്യപദം = 63 ÷ 3 = 21

---

പൂർണ്ണ വർഗ്ഗങ്ങൾ (Perfect Squares)

ഘാതാങ്ക പരിശോധന

സിദ്ധാന്തം: a^b രൂപത്തിലുള്ള ഒരു സംഖ്യ പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമാകണമെങ്കിൽ, b (ഘാതാങ്കം) ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കണം.

കാരണം: (x^m)² = x^(2m), അതുകൊണ്ട് വർഗ്ഗത്തിന്റെ ഘാതാങ്കം എപ്പോഴും 2-ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും.

ചോദ്യം 89: താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവയിൽ പൂർണ്ണ വർഗ്ഗം ഏത്?

A) 5^5
B) 5^7
C) 5^6
D) 5^3

ഉത്തരം: C) 5^6

വിശദീകരണം:

• 5^5: ഘാതാങ്കം 5 (ഒറ്റ സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമല്ല
• 5^7: ഘാതാങ്കം 7 (ഒറ്റ സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമല്ല
• 5^6: ഘാതാങ്കം 6 (ഇരട്ട സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമാണ് (5^6 = (5^3)²)
• 5^3: ഘാതാങ്കം 3 (ഒറ്റ സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമല്ല

---

പരിശീലന ചോദ്യം 1: താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവയിൽ പൂർണ്ണ വർഗ്ഗം ഏത്?

A) 2^9
B) 3^8
C) 7^5
D) 11^3

ഉത്തരം: B) 3^8

വിശദീകരണം:

• 2^9: ഘാതാങ്കം 9 (ഒറ്റ സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമല്ല
• 3^8: ഘാതാങ്കം 8 (ഇരട്ട സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമാണ് (3^8 = (3^4)²)
• 7^5: ഘാതാങ്കം 5 (ഒറ്റ സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമല്ല
• 11^3: ഘാതാങ്കം 3 (ഒറ്റ സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമല്ല

---

പരിശീലന ചോദ്യം 2: താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവയിൽ പൂർണ്ണ വർഗ്ഗം ഏത്?

A) 6^11
B) 4^7
C) 2^10
D) 9^5

ഉത്തരം: C) 2^10

വിശദീകരണം:

• 6^11: ഘാതാങ്കം 11 (ഒറ്റ സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമല്ല
• 4^7: ഘാതാങ്കം 7 (ഒറ്റ സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമല്ല
• 2^10: ഘാതാങ്കം 10 (ഇരട്ട സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമാണ് (2^10 = (2^5)²)
• 9^5: ഘാതാങ്കം 5 (ഒറ്റ സംഖ്യ) – പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമല്ല

---

പ്രധാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ – സംഗ്രഹം

ജ്യാമിതി

1. സമചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണം: വശം × √2
2. ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്: 2(നീളം + വീതി)
3. ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്: നീളം × വീതി
4. വശങ്ങളുടെ തുക: ചുറ്റളവ് ÷ 2

ബീജഗണിതം

1. കേവല മൂല്യ സമവാക്യം: |x – a| = |x – b| ⟹ x = (a + b)/2
2. ഘടകസിദ്ധാന്തം: (x – a) ഘടകമാണെങ്കിൽ P(a) = 0
3. സമാന്തര ശ്രേണി (ഒറ്റ പദങ്ങൾ): മധ്യപദം = തുക ÷ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം

സംഖ്യകൾ

1. പൂർണ്ണ വർഗ്ഗം: a^b പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമാകാൻ b ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കണം