ത്രികോണങ്ങളിലെ കോണുകൾ

അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ

ഒരു ത്രികോണത്തിലെ മൂന്ന് കോണുകളുടെയും ആകെ തുക എപ്പോഴും 180 ഡിഗ്രി ആയിരിക്കും. തുല്യമായ വശങ്ങൾക്ക് എതിരെയുള്ള കോണുകളും തുല്യമായിരിക്കും.

മട്ടത്രികോണം (Right Triangle)

മട്ടത്രികോണത്തിൽ ഒരു കോൺ 90 ഡിഗ്രി ആയിരിക്കും. രണ്ട് കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, ആ കോണുകൾ കണ്ടെത്താൻ:

സൂത്രവാക്യം: 90 + x + x = 180, അതായത് x = (180 – 90) / 2

ചോദ്യം: ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിൻ്റെ 2 കോണുകൾ തുല്യമാണ്. തുല്യമായ കോണുകൾ എത്ര? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45

ഉത്തരം: D) 45

വിശദീകരണം: 90 + 2x = 180, അതിനാൽ 2x = 90, x = 45 ഡിഗ്രി

ചോദ്യം: ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ 30 ഡിഗ്രി, 60 ഡിഗ്രി എന്നിവയാണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ കോണിന്റെ അളവ് എത്ര? A) 30 ഡിഗ്രി B) 60 ഡിഗ്രി C) 90 ഡിഗ്രി D) 180 ഡിഗ്രി

ഉത്തരം: C) 90 ഡിഗ്രി

വിശദീകരണം: മൂന്നാമത്തെ കോൺ = 180 – (30 + 60) = 90 ഡിഗ്രി. ഇത് ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്.

സമഭുജ ത്രികോണം (Equilateral Triangle)

സമഭുജ ത്രികോണത്തിൽ മൂന്ന് വശങ്ങളും തുല്യമാണ്. അതിനാൽ മൂന്ന് കോണുകളും തുല്യമായിരിക്കും.

സൂത്രവാക്യം: ഓരോ കോൺ = 180 / 3 = 60 ഡിഗ്രി

ചോദ്യം: ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിലെ ഓരോ കോണിന്റെയും അളവ് എത്രയാണ്? A) 30 ഡിഗ്രി B) 45 ഡിഗ്രി C) 60 ഡിഗ്രി D) 90 ഡിഗ്രി

ഉത്തരം: C) 60 ഡിഗ്രി

ഭിന്നസംഖ്യകളിലെ ക്രിയകൾ

ഭിന്നസംഖ്യ ഹരണം

രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ ഹരിക്കാൻ, ആദ്യത്തെ സംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ വ്യുൽക്രമം (reciprocal) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

സൂത്രവാക്യം: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)

ചോദ്യം: 3/8-നെ ഒരു സംഖ്യകൊണ്ട് ഹരിച്ചപ്പോൾ 8/3 കിട്ടി. എങ്കിൽ ഏത് സംഖ്യ കൊണ്ടാണ് ഹരിച്ചത്? A) 24/9 B) 64/9 C) 9/64 D) 8/3

ഉത്തരം: C) 9/64

വിശദീകരണം: (3/8) / x = 8/3, അതിനാൽ x = (3/8) / (8/3) = (3/8) × (3/8) = 9/64

ഭിന്നസംഖ്യ ഗുണനം

ചോദ്യം: ഒരു സംഖ്യയെ 5/7 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചപ്പോൾ 25/14 ലഭിച്ചു എങ്കിൽ, ആ സംഖ്യ ഏതാണ്? A) 2/5 B) 5/2 C) 7/5 D) 14/25

ഉത്തരം: B) 5/2

വിശദീകരണം: x × (5/7) = 25/14, അതിനാൽ x = (25/14) ÷ (5/7) = (25/14) × (7/5) = 5/2

ചോദ്യം: ഏത് സംഖ്യയുടെ 3/4 ഭാഗമാണ് 12? A) 9 B) 16 C) 18 D) 24

ഉത്തരം: B) 16

വിശദീകരണം: y × (3/4) = 12, അതിനാൽ y = 12 ÷ (3/4) = 12 × (4/3) = 16

ശിഷ്ടം (Remainder) സംബന്ധിച്ച ചോദ്യങ്ങൾ

ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ പവറുകൾ

അടിസ്ഥാന നിയമം: ഏതൊരു ഒറ്റ സംഖ്യയെയും (Odd number) 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം എപ്പോഴും 1 ആയിരിക്കും. ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ഏതൊരു പവറും ഒറ്റ സംഖ്യ തന്നെയായിരിക്കും.

ചോദ്യം: 3³, 5⁵, 7⁷ ഇവയെ ഓരോന്നിനെയും 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം എത്ര? A) 1 B) 2 C) 32 D) 4

ഉത്തരം: A) 1

വിശദീകരണം: 3, 5, 7 എന്നിവ ഒറ്റ സംഖ്യകളാണ്. അവയുടെ ഏത് പവറും ഒറ്റ സംഖ്യയായിരിക്കും. ഒറ്റ സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ എപ്പോഴും ശിഷ്ടം 1.

ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ പവറുകൾ

അടിസ്ഥാന നിയമം: ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയുടെ (Even number) ഏതൊരു പവറും ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കും. ഇരട്ട സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം എപ്പോഴും 0 ആയിരിക്കും.

ചോദ്യം: (2⁴) + (4²) + (6³) എന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം എത്ര? A) 0 B) 1 C) 2 D) 4

ഉത്തരം: A) 0

വിശദീകരണം: 2, 4, 6 എന്നിവ ഇരട്ട സംഖ്യകളാണ്. അവയുടെ പവറുകളുടെ തുകയും ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കും. ശിഷ്ടം 0.

ചോദ്യം: (3²) + (5¹) + (7⁰) എന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം എത്ര? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

ഉത്തരം: B) 1

വിശദീകരണം: 3² = 9, 5¹ = 5, 7⁰ = 1 (എല്ലാം ഒറ്റ സംഖ്യകൾ). മൂന്ന് ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ തുക = 15 (ഒറ്റ സംഖ്യ). ശിഷ്ടം 1.

ശരാശരി (Average) ചോദ്യങ്ങൾ

ശരാശരി വർദ്ധിപ്പിക്കൽ

സൂത്രവാക്യം: നേടേണ്ട സ്കോർ = (ശരാശരിയിലെ വർദ്ധനവ് × നിലവിലെ എണ്ണം) + (പുതിയ എണ്ണം × ലക്ഷ്യ ശരാശരി)

ചോദ്യം: ഒരു ക്രിക്കറ്റ് കളിക്കാരൻ 9 ഇന്നിംഗ്‌സിലായി ശരാശരി 36 റൺസ് എടുത്തിട്ടുണ്ട്. അടുത്ത രണ്ട് ഇന്നിംഗ്‌സിൽ ആകെ എത്ര റൺസ് എടുത്താൽ ശരാശരി 40 ആകും? A) 116 B) 110 C) 120 D) 115

ഉത്തരം: A) 116

വിശദീകരണം:

• ശരാശരി വർദ്ധനവ് = 40 – 36 = 4
• നിലവിലെ ഇന്നിംഗ്‌സ് = 9
• പുതിയ ഇന്നിംഗ്‌സ് = 2
• നേടേണ്ട റൺസ് = (4 × 9) + (2 × 40) = 36 + 80 = 116

ചോദ്യം: ഒരു ബാറ്റ്സ്മാൻ 10 ഇന്നിംഗ്‌സുകളിൽ 50 റൺസ് ശരാശരി നേടി. 11-ാമത്തെ ഇന്നിംഗ്‌സിൽ എത്ര റൺസ് നേടിയാൽ അയാളുടെ ശരാശരി 52 ആയി ഉയർത്താം? A) 62 B) 70 C) 72 D) 80

ഉത്തരം: C) 72

വിശദീകരണം: നേടേണ്ട റൺസ് = (2 × 10) + (1 × 52) = 20 + 52 = 72

ചോദ്യം: ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് 8 വിഷയങ്ങളിൽ ശരാശരി 75 മാർക്ക് ലഭിച്ചു. 9-ാമത്തെ വിഷയത്തിൽ എത്ര മാർക്ക് ലഭിച്ചാൽ അവന്റെ ആകെ ശരാശരി 78 ആകും? A) 90 B) 98 C) 100 D) 102

ഉത്തരം: D) 102

വിശദീകരണം: നേടേണ്ട മാർക്ക് = (3 × 8) + (1 × 78) = 24 + 78 = 102

ഘാതനിയമങ്ങൾ (Laws of Exponents)

ഘാതാങ്കം കുറയ്ക്കൽ

നിയമം: a^(m-n) = a^m / a^n

ചോദ്യം: 4^x = 1024 ആയാൽ 4^(x-1) എത്ര? A) 128 B) 256 C) 512 D) 484

ഉത്തരം: B) 256

വിശദീകരണം: 4^(x-1) = 4^x / 4¹ = 1024 / 4 = 256

ഘാതാങ്കം കൂട്ടൽ

നിയമം: a^(m+n) = a^m × a^n

ചോദ്യം: 3^x = 243 ആയാൽ, 3^(x+1) എത്ര? A) 81 B) 243 C) 729 D) 6561

ഉത്തരം: C) 729

വിശദീകരണം: 3^(x+1) = 3^x × 3¹ = 243 × 3 = 729

ചോദ്യം: 2^a = 64 ആയാൽ, 2^(a-2) എത്ര? A) 8 B) 16 C) 32 D) 64

ഉത്തരം: B) 16

വിശദീകരണം: 2^(a-2) = 2^a / 2² = 64 / 4 = 16

ബഹുഭുജങ്ങളിലെ കോണുകൾ (Polygon Angles)

സമബഹുഭുജത്തിലെ കോണിന്റെ അളവ്

സൂത്രവാക്യം: ഒരു കോണിന്റെ അളവ് = [(n – 2) × 180] / n

ഇവിടെ ‘n’ എന്നത് വശങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്.

വിവിധ ബഹുഭുജങ്ങൾ

• ത്രിഭുജം (Triangle): n = 3, കോൺ = 60°
• ചതുർഭുജം (Quadrilateral): n = 4, കോൺ = 90°
• പഞ്ചഭുജം (Pentagon): n = 5, കോൺ = 108°
• ഷഡ്ഭുജം (Hexagon): n = 6, കോൺ = 120°
• അഷ്ടഭുജം (Octagon): n = 8, കോൺ = 135°
• നവഭുജം (Nonagon): n = 9, കോൺ = 140°

ചോദ്യം: പഞ്ചഭുജം : 108 : : നവഭുജം : A) 120 B) 150 C) 130 D) 140

ഉത്തരം: D) 140

വിശദീകരണം: നവഭുജത്തിന് n = 9. കോൺ = [(9-2) × 180] / 9 = (7 × 180) / 9 = 140°

ചോദ്യം: ചതുർഭുജം : 90 : : ഷഡ്ഭുജം : A) 100 B) 120 C) 135 D) 150

ഉത്തരം: B) 120

വിശദീകരണം: ഷഡ്ഭുജത്തിന് n = 6. കോൺ = [(6-2) × 180] / 6 = 120°

ചോദ്യം: അഷ്ടഭുജം : 135 : : ത്രിഭുജം : A) 30 B) 60 C) 90 D) 120

ഉത്തരം: B) 60

വിശദീകരണം: സമഭുജ ത്രികോണത്തിന് n = 3. കോൺ = [(3-2) × 180] / 3 = 60°

സംഖ്യാശ്രേണികൾ (Number Series)

ഗുണന ശ്രേണി (Geometric Progression)

ഗുണന ശ്രേണിയിൽ ഓരോ സംഖ്യയും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ് അടുത്ത സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നത്.

ചോദ്യം: 2, 8, 32, … A) 64 B) 72 C) 128 D) 100

ഉത്തരം: C) 128

വിശദീകരണം: 2 × 4 = 8, 8 × 4 = 32, 32 × 4 = 128

ചോദ്യം: 3, 9, 27, … അടുത്ത സംഖ്യ ഏത്? A) 30 B) 36 C) 81 D) 108

ഉത്തരം: C) 81

വിശദീകരണം: 3 × 3 = 9, 9 × 3 = 27, 27 × 3 = 81

ചോദ്യം: 5, 10, 20, … അടുത്ത സംഖ്യ ഏത്? A) 25 B) 30 C) 35 D) 40

ഉത്തരം: D) 40

വിശദീകരണം: 5 × 2 = 10, 10 × 2 = 20, 20 × 2 = 40

ദശാംശ ഹരണം (Decimal Division)

ദശാംശ സ്ഥലങ്ങളുടെ മാറ്റം

ഒരു സംഖ്യയെ 10, 100, 1000 എന്നിവ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ദശാംശം ഇടത്തോട്ടും, ഗുണിക്കുമ്പോൾ വലത്തോട്ടും മാറുന്നു.

ചോദ്യം: 1/3.2 = 0.3125 ആണ്. 1/0.032 = A) 0.003125 B) 0.03125 C) 31.25 D) 312.5

ഉത്തരം: C) 31.25

വിശദീകരണം: 0.032 = 3.2 / 100. അതിനാൽ 1/0.032 = (1/3.2) × 100 = 0.3125 × 100 = 31.25

ചോദ്യം: 1/4.5 = 0.2222 ആണെങ്കിൽ, 1/0.45 എത്ര? A) 0.02222 B) 0.2222 C) 2.222 D) 22.22

ഉത്തരം: C) 2.222

വിശദീകരണം: 0.45 = 4.5 / 10. അതിനാൽ 1/0.45 = (1/4.5) × 10 = 0.2222 × 10 = 2.222

ചോദ്യം: 1/0.125 = 8 ആണെങ്കിൽ, 1/12.5 എത്ര? A) 0.008 B) 0.08 C) 0.8 D) 80

ഉത്തരം: B) 0.08

വിശദീകരണം: 12.5 = 0.125 × 100. അതിനാൽ 1/12.5 = (1/0.125) / 100 = 8 / 100 = 0.08

വർഗ്ഗ വികസനം (Square Expansion)

(a + b)² സൂത്രവാക്യം

(a + b)² = a² + 2ab + b²

മിശ്രസംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗം കണ്ടെത്താൻ ഈ സൂത്രവാക്യം വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

ചോദ്യം: (25 1/2)² എന്താണ്? A) 625 1/4 B) 626 1/4 C) 637 1/4 D) 650 1/4

ഉത്തരം: D) 650 1/4

വിശദീകരണം:

• a = 25, b = 1/2
• a² = 625
• 2ab = 2 × 25 × 1/2 = 25
• b² = (1/2)² = 1/4
• ആകെ = 625 + 25 + 1/4 = 650 1/4

ചോദ്യം: (10 1/4)² എത്രയാണ്? A) 100 1/16 B) 102 1/2 C) 105 1/16 D) 105 1/2

ഉത്തരം: C) 105 1/16

വിശദീകരണം:

• a = 10, b = 1/4
• a² = 100
• 2ab = 2 × 10 × 1/4 = 5
• b² = (1/4)² = 1/16
• ആകെ = 100 + 5 + 1/16 = 105 1/16

ചോദ്യം: (5 1/3)² എത്രയാണ്? A) 28 1/9 B) 28 4/9 C) 30 1/9 D) 32 1/9

ഉത്തരം: B) 28 4/9

വിശദീകരണം:

• a = 5, b = 1/3
• a² = 25
• 2ab = 2 × 5 × 1/3 = 10/3 = 3 1/3
• b² = (1/3)² = 1/9
• ആകെ = 25 + 3 1/3 + 1/9 = 25 + 3 4/9 = 28 4/9

പ്രധാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ – സംഗ്രഹം

ത്രികോണങ്ങൾ

• കോണുകളുടെ തുക = 180°
• സമഭുജ ത്രികോണം = 60° വീതം
• മട്ടത്രികോണം = ഒരു കോൺ 90°

ബഹുഭുജങ്ങൾ

• കോണിന്റെ അളവ് = [(n-2) × 180] / n

ശരാശരി

• നേടേണ്ട സ്കോർ = (വർദ്ധനവ് × ഇപ്പോഴത്തെ എണ്ണം) + (പുതിയ എണ്ണം × ലക്ഷ്യം)

ഘാതനിയമങ്ങൾ

• a^(m-n) = a^m / a^n
• a^(m+n) = a^m × a^n

ഭിന്നസംഖ്യകൾ

• (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)

വർഗ്ഗം

• (a+b)² = a² + 2ab + b²

ശിഷ്ടം

• ഒറ്റ സംഖ്യ ÷ 2 = ശിഷ്ടം 1
• ഇരട്ട സംഖ്യ ÷ 2 = ശിഷ്ടം 0

---

കുറിപ്പ്: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും പ്രാക്ടീസ് ചെയ്ത് മനസ്സിലാക്കുക. ഷോർട്ട്കട്ട് രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സമയം ലാഭിക്കാം.